Résoudre des problèmes de proportionnalité en 4ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de résoudre des problèmes de proportionnalité pour les élèves de 4ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Coefficient de proportionnalité
- Calculer une quatrième proportionnelle
- Taux d’évolution, coefficient multiplicateur
- Notion de ratio ; partage selon un ratio donné
- Pourcentages, échelles, agrandissement-réduction
Coefficient de proportionnalité
C'est le nombre par lequel tu multiplies une valeur pour obtenir l'autre. Quand deux grandeurs sont proportionnelles, il existe toujours un coefficient constant entre elles.
Exemple
Si 1 kg de pommes coûte 2 euros, le coefficient est 2. Pour 3 kg, tu multiplies : 3 × 2 = 6 euros.
À retenir : Pour trouver le coefficient, divise une valeur par l'autre : $\text{coefficient} = \frac{\text{valeur 1}}{\text{valeur 2}}$
Calculer une quatrième proportionnelle
Tu as trois nombres et tu cherches le quatrième pour que les deux rapports soient égaux. C'est le produit en croix.
Exemple
Si 4 stylos coûtent 8 euros, combien coûtent 7 stylos ? Tu fais : $\frac{4}{8} = \frac{7}{x}$, donc $x = \frac{7 × 8}{4} = 14$ euros.
À retenir : Utilise le produit en croix : $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ donc $a × d = b × c$
Taux d'évolution et coefficient multiplicateur
Le taux d'évolution mesure comment une quantité change (augmente ou diminue). Le coefficient multiplicateur est le nombre par lequel tu multiplies la valeur initiale pour obtenir la valeur finale.
Exemple
Un article coûtait 50 euros et coûte maintenant 60 euros. L'augmentation est de 10 euros. Le taux d'évolution est (60 − 50) ÷ 50 = 0,2, soit +20 %. Le coefficient multiplicateur est 60 ÷ 50 = 1,2 = 1 + 0,2.
À retenir : Coefficient multiplicateur = $\frac{\text{valeur finale}}{\text{valeur initiale}}$ ; si > 1, c'est une augmentation ; si < 1, c'est une diminution
Notion de ratio et partage
Un ratio compare deux ou plusieurs grandeurs. Partager une quantité selon un ratio a : b, c'est la diviser en deux parties proportionnelles à a et à b.
Exemple
Une recette demande du sucre et de la farine dans le ratio 2 : 3 : pour 2 kg de sucre, on met 3 kg de farine. Partager 50 € entre Léa et Tom selon le ratio 2 : 3 : il y a 2 + 3 = 5 parts ; une part vaut 50 ÷ 5 = 10 € ; Léa reçoit 2 × 10 = 20 € et Tom 3 × 10 = 30 € (vérification : 20 + 30 = 50).
À retenir : Pour partager selon le ratio a : b : on compte le nombre total de parts a + b, on calcule la valeur d'une part (quantité ÷ (a + b)), puis on la multiplie par a et par b.
Pourcentages et calculs
Un pourcentage est une fraction avec 100 au dénominateur. 50 % signifie 50 sur 100, soit la moitié.
Exemple
Une réduction de 20 % sur un pull de 50 euros : 20 % de 50 = $\frac{20}{100} × 50 = 10$ euros. Tu paies 40 euros.
À retenir : Pour calculer p% d'une quantité : $\frac{p}{100} \times \text{quantité}$
Échelles sur cartes et plans
L'échelle indique le rapport entre les distances sur une carte et les vraies distances sur le terrain. L'échelle 1:1000 signifie que 1 cm sur la carte représente 1000 cm en réalité.
Exemple
Sur une carte au 1:100 000, si la distance mesurée est 5 cm, la vraie distance est 5 × 100 000 = 500 000 cm = 5 km.
À retenir : Distance réelle = Distance sur la carte ÷ échelle (pour une échelle 1:100 000, on multiplie par 100 000)
Agrandissement et réduction
Agrandir ou réduire une figure signifie multiplier toutes ses dimensions par le même nombre (appelé coefficient d'agrandissement ou de réduction).
Exemple
Un rectangle de 4 cm sur 6 cm agrandi par 2 devient 8 cm sur 12 cm. L'aire est multipliée par $2^2 = 4$.
À retenir : Si le coefficient d'agrandissement est k, les longueurs sont multipliées par k et les aires par $k^2$
Les points clés
- La proportionnalité existe quand il y a un coefficient constant entre deux grandeurs
- Le produit en croix permet de trouver une quatrième proportionnelle rapidement
- Un pourcentage est toujours une fraction avec 100 au dénominateur
- Partager selon le ratio 2 : 3, c'est faire 2 + 3 = 5 parts égales : l'un reçoit 2 parts, l'autre 3 parts
- Pour les échelles : distance réelle = distance sur la carte ÷ échelle, c'est-à-dire × le dénominateur de l'échelle
- Un agrandissement ou réduction multiplie toutes les dimensions par le même nombre
L'essentiel
La proportionnalité est partout autour de toi : dans les prix, les cartes, les recettes, les réductions. Toujours chercher le coefficient qui relie deux grandeurs.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un gâteau pour 4 personnes nécessite 200 g de farine. Combien de farine faut-il pour 10 personnes ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un prix passe de 80 euros à 60 euros. Calcule le coefficient multiplicateur et dis s'il y a augmentation ou diminution.
Corrige cet exercice avec le tuteur →