Nombres et calculs en 2nde
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de nombres et calculs pour les élèves de 2nde. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Ensembles de nombres : ℕ, ℤ, ℚ, ℝ et leurs inclusions
- Calcul littéral et identités remarquables
- Équations du premier degré à une inconnue
- Manipuler fractions, puissances et racines carrées
- Notation scientifique et ordre de grandeur
- Multiples, diviseurs et nombres premiers
Les ensembles de nombres ℕ, ℤ, ℚ, ℝ
Les nombres se classent en familles : ℕ contient les entiers naturels (0, 1, 2...), ℤ ajoute les négatifs (...-2, -1, 0, 1...), ℚ inclut les fractions, et ℝ contient tous les nombres y compris les irrationnels comme π.
Exemple
Quand tu comptes tes points au jeu vidéo, tu utilises ℕ. Quand tu dois de l'argent, tu utilises ℤ. Quand tu partages une pizza en 3, tu utilises ℚ. La diagonale d'un carré de côté 1 mesure √2, qui est dans ℝ.
À retenir : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ : chaque ensemble contient le précédent.
Identités remarquables et calcul littéral
Les identités remarquables sont des formules qui permettent de développer ou factoriser rapidement des expressions. Les trois principales sont : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, et $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
Exemple
Pour calculer rapidement $101^2$, on écrit $101^2 = (100+1)^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$ au lieu de multiplier 101 par 101.
À retenir : Les identités remarquables accélèrent les calculs et permettent de factoriser des expressions complexes.
Équations du premier degré à une inconnue
Une équation du premier degré est une égalité avec une inconnue (souvent x) où l'inconnue n'apparaît qu'à la puissance 1. Résoudre l'équation, c'est trouver la valeur de x qui rend l'égalité vraie.
Exemple
Si tu achètes des stylos à 2 euros chacun et que tu dépenses 10 euros, l'équation est $2x = 10$. La solution est $x = 5$ stylos.
À retenir : Pour résoudre, isole l'inconnue en effectuant les mêmes opérations des deux côtés du signe égal.
Manipuler fractions, puissances et racines
Les fractions se simplifient en divisant numérateur et dénominateur par leur PGCD. Les puissances suivent des règles : $a^m × a^n = a^{m+n}$ et $a^m ÷ a^n = a^{m-n}$. Les racines carrées vérifient : $\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ et $\sqrt{a^2} = |a|$.
Exemple
Simplifier $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$. Calculer $2^3 × 2^2 = 2^5 = 32$. Simplifier $\sqrt{50} = \sqrt{25 × 2} = 5\sqrt{2}$.
À retenir : Toujours simplifier au maximum et sortir les carrés parfaits des racines.
Notation scientifique et ordre de grandeur
La notation scientifique écrit un nombre sous la forme $a × 10^n$ où $1 ≤ a < 10$ et n est un entier relatif. L'ordre de grandeur est la puissance de 10 la plus proche du nombre.
Exemple
La distance Terre-Soleil est environ 150 milliards de km = $1,5 × 10^{11}$ m. L'ordre de grandeur est $10^{11}$ m.
À retenir : La notation scientifique permet de comparer facilement des très grands ou très petits nombres.
Multiples, diviseurs et nombres premiers
Un multiple de a est un nombre de la forme $a × k$ (k entier). Un diviseur de a divise a sans reste. Un nombre premier n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même.
Exemple
Les multiples de 5 sont 5, 10, 15, 20... Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12. Les nombres premiers jusqu'à 20 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
À retenir : Les nombres premiers sont les briques élémentaires : tout entier se décompose en produit de nombres premiers.
Les points clés
- Les ensembles de nombres s'emboîtent : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
- Les identités remarquables $(a±b)^2$ et $(a+b)(a-b)$ sont essentielles pour factoriser et développer
- Pour résoudre une équation, effectue les mêmes opérations des deux côtés du signe égal
- Simplifie toujours les fractions et sors les carrés parfaits des racines
- La notation scientifique $a × 10^n$ permet de comparer des nombres très différents
- Tout nombre entier se décompose en produit unique de nombres premiers
L'essentiel
Les nombres s'organisent en ensembles emboîtés, et les techniques de calcul (identités, équations, simplifications) permettent de résoudre tous les problèmes numériques du quotidien.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Résous l'équation $3(x - 2) = 2x + 5$ et vérifie ta solution.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Simplifie $\frac{\sqrt{72}}{3}$ et écris le résultat sous la forme $a\sqrt{b}$ où a et b sont des entiers.
Corrige cet exercice avec le tuteur →