Nombres et calculs en 2nde
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de nombres et calculs pour les élèves de 2nde. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
- Les ensembles de nombres ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ
- Nombres irrationnels : √2 et π
- Multiples, diviseurs, parité et fractions irréductibles
- Puissances entières relatives et racines carrées
- Calcul littéral : développer, factoriser, identités remarquables
- Équations du premier degré et équation x² = a
- Équation produit nul et équation quotient
- Isoler une variable dans une formule
- Comparer deux nombres par différence ou par quotient
- Ordre de grandeur, arrondi et chiffres significatifs
Ce que tu vas réviser
- Ensembles de nombres ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ et leurs inclusions
- Nombres irrationnels : exemples √2 et π
- Multiples, diviseurs, nombres pairs et impairs ; fractions sous forme irréductible
- Calcul sur les puissances entières relatives et les racines carrées
- Calcul littéral : développer, factoriser, identités remarquables
- Équations du premier degré et équation x² = a
- Équation produit nul et équation quotient
- Isoler une variable dans une formule (U = RI, d = vt, V = πr²h…)
- Comparer deux nombres par différence ou par quotient
- Ordre de grandeur, arrondi et chiffres significatifs
Les ensembles de nombres ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ
$\mathbb{N}$ est l'ensemble des entiers naturels (0, 1, 2…) ; $\mathbb{Z}$ celui des entiers relatifs (…, $-2$, $-1$, 0, 1…) ; $\mathbb{D}$ celui des nombres décimaux, qui s'écrivent $\frac{a}{10^n}$ avec $a$ entier relatif et $n$ entier naturel ; $\mathbb{Q}$ celui des nombres rationnels, qui s'écrivent $\frac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ entiers, $b \neq 0$ ; $\mathbb{R}$ celui des nombres réels, abscisses des points d'une droite graduée.
Exemple
$-3 \in \mathbb{Z}$ mais $-3 \notin \mathbb{N}$ ; $2{,}75 = \frac{275}{100} \in \mathbb{D}$ ; $\frac{1}{3} \in \mathbb{Q}$ mais $\frac{1}{3} \notin \mathbb{D}$ (son écriture décimale $0{,}333…$ ne s'arrête pas) ; $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$ mais $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.
À retenir : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ : chaque ensemble est contenu dans le suivant.
Nombres irrationnels : √2 et π
Un nombre réel est irrationnel s'il n'est pas rationnel, c'est-à-dire s'il ne peut pas s'écrire $\frac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ entiers ($b \neq 0$). $\sqrt{2}$ et $\pi$ sont irrationnels ; l'irrationalité de $\sqrt{2}$ se démontre en 2nde.
Exemple
La diagonale d'un carré de côté 1 mesure $\sqrt{2}$ (théorème de Pythagore) et un cercle de diamètre 1 a pour périmètre $\pi$. La calculatrice n'en donne que des valeurs approchées : $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ et $\pi \approx 3{,}1416$.
À retenir : Idée de la démonstration pour $\sqrt{2}$ : si $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ avec une fraction irréductible, alors $a^2 = 2b^2$, donc $a$ est pair ; on en déduit que $b$ est pair aussi, ce qui contredit l'irréductibilité.
Multiples, diviseurs, parité et fractions irréductibles
L'entier $a$ est un multiple de l'entier $b$ s'il existe un entier $k$ tel que $a = kb$ ; on dit aussi que $b$ est un diviseur de $a$. Un entier est pair s'il s'écrit $2k$, impair s'il s'écrit $2k + 1$ ($k$ entier). Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont pas d'autre diviseur positif commun que 1.
Exemple
$42 = 6 \times 7$ : 42 est un multiple de 7. Le carré d'un nombre impair est impair : $(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$. Pour simplifier $\frac{84}{126}$ : $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ et $126 = 2 \times 3^2 \times 7$, on divise par $2 \times 3 \times 7 = 42$ et on obtient $\frac{2}{3}$.
À retenir : Pour rendre une fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun (la décomposition en facteurs premiers aide à le trouver).
Puissances entières relatives et racines carrées
Pour $a \neq 0$ et $m$, $n$ entiers relatifs : $a^m \times a^n = a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$ et $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Pour $a \geq 0$ et $b \geq 0$ : $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ ; pour tout réel $a$ : $\sqrt{a^2} = |a|$.
Exemple
$\frac{2^5 \times 2^{-3}}{2^4} = 2^{5 - 3 - 4} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$ ; $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$ ; $\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3$.
À retenir : Attention : en général $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$. Par exemple $\sqrt{9 + 16} = 5$ alors que $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$.
Calcul littéral : développer, factoriser, identités remarquables
Développer, c'est transformer un produit en somme ; factoriser, c'est transformer une somme en produit. Les identités remarquables servent dans les deux sens : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ et $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.
Exemple
$(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$ ; $9x^2 - 25 = (3x - 5)(3x + 5)$ ; $101^2 = (100 + 1)^2 = 10\,000 + 200 + 1 = 10\,201$.
À retenir : On choisit la forme la plus adaptée au problème : la forme factorisée pour résoudre une équation produit nul ou étudier un signe, la forme développée réduite pour comparer ou calculer.
Équations du premier degré et équation x² = a
Pour résoudre une équation du premier degré ($ax + b = c$, $ax + b = cx + d$), on isole l'inconnue en effectuant les mêmes opérations sur les deux membres. L'équation $x^2 = a$ a deux solutions $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ si $a > 0$, une seule solution 0 si $a = 0$ et aucune solution réelle si $a < 0$.
Exemple
$5x - 7 = 2x + 8 \iff 3x = 15 \iff x = 5$. $x^2 = 49$ : $S = \{-7 ; 7\}$. $x^2 = 3$ : $S = \{-\sqrt{3} ; \sqrt{3}\}$. $x^2 = -4$ : $S = \varnothing$.
À retenir : Ne pas oublier la solution négative : $x^2 = a$ avec $a > 0$ donne $x = \sqrt{a}$ ou $x = -\sqrt{a}$.
Équation produit nul et équation quotient
Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul : $A(x) \times B(x) = 0 \iff A(x) = 0$ ou $B(x) = 0$. Pour une équation quotient $\frac{A(x)}{B(x)} = k$, on exclut d'abord les valeurs qui annulent $B(x)$ (valeurs interdites), puis on résout $A(x) = k \times B(x)$.
Exemple
$(2x - 6)(x + 1) = 0 \iff 2x - 6 = 0$ ou $x + 1 = 0 \iff x = 3$ ou $x = -1$. Pour $\frac{x + 2}{x - 1} = 0$ : la valeur 1 est interdite ; $x + 2 = 0$ donne $x = -2$, qui n'est pas interdite, donc $S = \{-2\}$.
À retenir : Équation quotient : toujours chercher les valeurs interdites avant de résoudre, et vérifier que les solutions trouvées n'en font pas partie.
Isoler une variable dans une formule
Exprimer une variable en fonction des autres, c'est transformer la formule pour obtenir « variable = … », en effectuant les mêmes opérations sur les deux membres (et en vérifiant qu'on ne divise pas par 0).
Exemple
$U = RI$ donne $I = \frac{U}{R}$ (avec $R \neq 0$). $d = vt$ donne $t = \frac{d}{v}$ (avec $v \neq 0$). $V = \pi r^2 h$ donne $h = \frac{V}{\pi r^2}$ et, comme $r > 0$, $r = \sqrt{\frac{V}{\pi h}}$.
À retenir : On isole la variable comme on résout une équation : les autres lettres jouent le rôle de nombres connus.
Comparer deux nombres par différence ou par quotient
Pour comparer $a$ et $b$, on étudie le signe de $a - b$ : si $a - b > 0$, alors $a > b$. Pour deux nombres strictement positifs, on peut aussi calculer $\frac{a}{b}$ : si $\frac{a}{b} > 1$, alors $a > b$.
Exemple
$\frac{7}{9} - \frac{4}{5} = \frac{35 - 36}{45} = -\frac{1}{45} < 0$, donc $\frac{7}{9} < \frac{4}{5}$. Un prix passe de 40 € à 50 € : la différence est de 10 € (variation additive) et le rapport $\frac{50}{40} = 1{,}25$ indique une multiplication par $1{,}25$, soit une hausse de 25 % (variation multiplicative).
À retenir : Différence : on compare au nombre 0. Quotient (nombres strictement positifs) : on compare au nombre 1.
Ordre de grandeur, arrondi et chiffres significatifs
Les chiffres significatifs d'un nombre sont ses chiffres à partir du premier chiffre non nul en partant de la gauche. Arrondir un résultat, c'est garder un nombre de chiffres significatifs adapté à la situation. Un ordre de grandeur est une estimation simple (souvent une puissance de 10) qui permet de contrôler un résultat.
Exemple
0,0045 a deux chiffres significatifs (4 et 5). $\pi \approx 3{,}14$ est un arrondi à trois chiffres significatifs. La distance Terre-Soleil vaut environ 150 millions de km, soit $1{,}5 \times 10^{11}$ m : son ordre de grandeur est $10^{11}$ m.
À retenir : La notation scientifique $a \times 10^n$ ($1 \leq a < 10$, $n$ entier relatif) fait apparaître les chiffres significatifs dans $a$ et l'ordre de grandeur dans $10^n$.
Les points clés
- Les ensembles de nombres s'emboîtent : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ ; $\sqrt{2}$ et $\pi$ sont irrationnels
- $a$ est multiple de $b$ s'il existe un entier $k$ tel que $a = kb$ ; une fraction irréductible ne se simplifie plus
- Les identités remarquables $(a \pm b)^2$ et $(a + b)(a - b)$ servent à développer et à factoriser
- $x^2 = a$ a deux solutions si $a > 0$ ; un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul ; une équation quotient impose de chercher les valeurs interdites
- Pour comparer deux nombres, on étudie le signe de leur différence ou on compare leur quotient à 1
- Un résultat s'arrondit avec un nombre de chiffres significatifs adapté, et l'ordre de grandeur permet de le contrôler
L'essentiel
Les nombres s'organisent en ensembles emboîtés ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$), et les techniques de calcul (puissances, racines, calcul littéral, équations) permettent de résoudre des problèmes et de contrôler les résultats obtenus.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Résous les équations suivantes : a) $(x - 3)(2x + 5) = 0$ ; b) $\frac{2x + 1}{x - 3} = 3$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Le volume d'un cylindre est donné par $V = \pi r^2 h$. a) Exprime $r$ en fonction de $V$ et $h$. b) Calcule $r$ pour $V = 1\,000$ cm³ et $h = 10$ cm, arrondi à trois chiffres significatifs.
Corrige cet exercice avec le tuteur →