Séries statistiques à deux variables quantitatives en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de séries statistiques à deux variables quantitatives pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Nuage de points
- Point moyen
- Ajustement affine (au jugé, droite de Mayer, moindres carrés)
- Interpoler et extrapoler à l’aide d’un ajustement
Nuage de points et représentation graphique
Un nuage de points est l'ensemble des points tracés sur un graphique qui représentent les couples de données (x, y). Chaque point correspond à une observation ou une mesure.
Exemple
Si tu étudies la relation entre le temps d'entraînement (en heures) et la performance au 100 m (en secondes) de 10 sprinters, tu places 10 points sur un graphique.
À retenir : Un nuage de points permet de visualiser s'il existe une relation entre deux variables quantitatives.
Point moyen et centre de gravité
Le point moyen, noté G, est le point dont les coordonnées sont les moyennes de toutes les valeurs de x et de toutes les valeurs de y. C'est le centre de gravité du nuage.
Exemple
Si tu as les notes de 5 élèves en français et en maths, tu calcules la moyenne des notes de français et la moyenne des notes de maths : ce couple de moyennes te donne le point G.
À retenir : Le point moyen est calculé par $G = (\bar{x}, \bar{y})$ où $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i$ et $\bar{y} = \frac{1}{n}\sum y_i$.
Ajustement affine au jugé
L'ajustement affine au jugé consiste à tracer à la main une droite qui passe au plus près des points du nuage, sans calcul précis. C'est une méthode rapide et visuelle.
Exemple
En regardant le graphique prix d'une voiture vs kilométrage, tu traces une droite qui semble résumer la tendance générale, même si tous les points ne sont pas exactement dessus.
À retenir : L'ajustement au jugé est rapide mais imprécis ; il faut des droites plus rigoureuses pour une bonne analyse.
Droite de Mayer
La droite de Mayer est obtenue en rangeant les points par abscisses croissantes, en divisant le nuage en deux groupes de même effectif, en calculant le point moyen de chaque groupe, puis en traçant la droite passant par ces deux points moyens.
Exemple
Si tu as 20 relevés température-glaces vendues, tu les ranges par températures croissantes, tu sépares en deux groupes de 10, tu calcules le point moyen des 10 premières données et le point moyen des 10 dernières, puis tu traces la droite entre ces deux points.
À retenir : La droite de Mayer passe toujours par deux points moyens, ce qui la rend plus précise que l'ajustement au jugé.
Ajustement par la méthode des moindres carrés
La méthode des moindres carrés donne la droite $y = ax + b$ qui rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite, c'est-à-dire $\sum (y_i - (ax_i + b))^2$. En pratique, on obtient $a$ et $b$ avec la calculatrice (mode statistiques, régression linéaire) ou avec un tableur.
Exemple
Une entreprise veut prédire ses revenus futurs en fonction de ses dépenses publicitaires. La méthode des moindres carrés trouve la meilleure droite qui résume cette relation.
À retenir : La droite des moindres carrés a pour équation $y = ax + b$, avec $a$ et $b$ donnés par la calculatrice ou le tableur ; elle passe toujours par le point moyen G.
Interpolation et extrapolation avec ajustement
L'interpolation consiste à utiliser la droite d'ajustement pour estimer une valeur entre deux données connues. L'extrapolation estime une valeur en dehors de la plage connue.
Exemple
Si tu as la droite reliant poids et taille de 100 personnes, l'interpolation estime la taille d'une personne de 70 kg, l'extrapolation estime celle d'une personne de 150 kg (hors des données).
À retenir : L'interpolation est fiable car elle reste dans la plage connue, l'extrapolation est risquée car elle suppose que la tendance continue indéfiniment.
Les points clés
- Le point moyen G a pour coordonnées $G = (\bar{x}, \bar{y})$ et le nuage de points est « centré » sur lui
- La droite des moindres carrés, obtenue à la calculatrice ou au tableur, passe toujours par le point moyen G et rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux
- Pour interpoler : on utilise l'équation de la droite avec une valeur x connue dans la plage ; pour extrapoler : on prolonge la droite au-delà des données, avec prudence
L'essentiel
Une série statistique à deux variables se visualise par un nuage de points, se résume par une droite d'ajustement qui passe par le point moyen, et permet de faire des prédictions fiables par interpolation et des prédictions moins fiables par extrapolation.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un magasin relève le nombre d'heures d'ouverture par semaine et son chiffre d'affaires en euros : (20 h ; 1 500 €), (30 h ; 2 100 €), (40 h ; 2 900 €), (50 h ; 3 800 €). Calcule le point moyen G. À la calculatrice, on obtient pour la droite des moindres carrés l'équation $y = 77x - 120$ : retrouve ce résultat avec ta calculatrice ou un tableur, puis vérifie que G appartient à cette droite.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
En utilisant la droite $y = 77x - 120$ de l'exercice précédent, estime le chiffre d'affaires si le magasin ouvre 45 heures par semaine. Puis estime-le pour 80 heures.
Corrige cet exercice avec le tuteur →