Suites numériques en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de suites numériques pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Suites arithmétiques et géométriques : définition, terme général
- Sens de variation d'une suite
- Notion intuitive de limite d'une suite, sur des exemples
- Modélisation par une suite
- Formules explicite et de récurrence
- Somme des termes d'une suite arithmétique ou géométrique
Suites arithmétiques
Une suite arithmétique est une liste de nombres où on ajoute toujours la même valeur pour passer d'un terme au suivant. Cette valeur constante s'appelle la raison, notée r.
Exemple
Un salaire qui augmente de 100 euros chaque mois : 2000, 2100, 2200, 2300... La raison est r = 100.
À retenir : Formule explicite : $u_n = u_0 + n \times r$ ou $u_n = u_1 + (n-1) \times r$
Suites géométriques
Une suite géométrique est une liste de nombres où on multiplie toujours par le même nombre pour passer d'un terme au suivant. Ce nombre constant s'appelle la raison, notée q.
Exemple
Une population de bactéries qui double chaque heure : $1$, $2$, $4$, $8$, $16$... La raison est $q = 2$.
À retenir : Formule explicite : $u_n = u_0 \times q^n$ ou $u_n = u_1 \times q^{n-1}$
Formules de récurrence
La formule de récurrence exprime un terme en fonction du terme précédent. Elle permet de calculer la suite pas à pas, contrairement à la formule explicite qui donne directement le terme.
Exemple
Pour une suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$. Pour une géométrique : $u_{n+1} = u_n \times q$.
À retenir : La récurrence relie chaque terme au précédent, la formule explicite donne directement le terme cherché.
Sens de variation d'une suite
Une suite $(u_n)$ est croissante si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$, décroissante si $u_{n+1} \leq u_n$ pour tout $n$ : on étudie donc le signe de $u_{n+1} - u_n$. Pour une suite arithmétique, $u_{n+1} - u_n = r$ : tout dépend du signe de $r$. Pour une suite géométrique, cela dépend de $q$ et du signe du premier terme.
Exemple
Suite arithmétique de raison $r = 3$ : croissante. Suite géométrique de premier terme $u_0 = 8$ et de raison $q = 0{,}5$ : $8$ ; $4$ ; $2$ ; $1$... elle est décroissante. Avec $u_0 = -8$ et la même raison : $-8$ ; $-4$ ; $-2$ ; $-1$... elle est croissante.
À retenir : Arithmétique : croissante si $r > 0$, décroissante si $r < 0$. Géométrique de premier terme $u_0 > 0$ : croissante si $q > 1$, décroissante si $0 < q < 1$ (c'est l'inverse si $u_0 < 0$) ; si $q < 0$, les termes changent de signe à chaque rang et la suite n'est pas monotone.
Notion intuitive de limite d'une suite
En première, la limite d'une suite est abordée de façon intuitive, sur des exemples : on observe (calculs, tableur, graphique) si les termes $u_n$ se rapprochent d'un nombre $\ell$ quand $n$ devient grand (la suite semble alors tendre vers $\ell$), s'ils deviennent aussi grands que l'on veut (limite $+\infty$), ou s'ils n'ont pas de limite (par exemple s'ils oscillent).
Exemple
La suite définie pour $n \geq 1$ par $u_n = 1 + \frac{1}{n}$ (termes : $2$ ; $1{,}5$ ; $1{,}33$...) semble tendre vers $1$. La suite $u_n = 2^n$ semble tendre vers $+\infty$. La suite $u_n = (-1)^n$, qui vaut alternativement $1$ et $-1$, n'a pas de limite.
À retenir : Pour une suite géométrique de premier terme non nul, on observe que les termes se rapprochent de $0$ lorsque $-1 < q < 1$ : c'est une conjecture en première, démontrée en terminale.
Somme des termes d'une suite arithmétique
La somme des n premiers termes d'une suite arithmétique se calcule avec une formule qui utilise le premier terme, le dernier terme et le nombre de termes.
Exemple
Somme des 10 premiers entiers : 1+2+3+...+10 = 55. Formule : $S = \frac{10 \times (1+10)}{2} = 55$.
À retenir : Formule : $S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}$ ou $S_n = \frac{n(2u_1 + (n-1)r)}{2}$
Somme des termes d'une suite géométrique
La somme des n premiers termes d'une suite géométrique dépend de la raison q. Si q = 1, c'est simple. Sinon, on utilise une formule spéciale.
Exemple
Somme de 1+2+4+8 (suite géométrique, q=2) = 15. Formule : $S = \frac{1(2^4-1)}{2-1} = 15$.
À retenir : Si $q \neq 1$ : $S_n = u_1 \times \frac{1-q^n}{1-q}$. Si $q = 1$ : $S_n = n \times u_1$
Modélisation par une suite
Modéliser une situation réelle par une suite signifie traduire un problème concret en langage mathématique pour pouvoir le résoudre avec les formules des suites.
Exemple
Un placement bancaire à intérêts composés : chaque année, on multiplie par 1,05. C'est une suite géométrique avec q = 1,05.
À retenir : Identifier si la situation correspond à une suite arithmétique (ajout constant) ou géométrique (multiplication constante).
Les points clés
- Une suite arithmétique a une différence constante entre les termes, une suite géométrique a un rapport constant.
- La formule explicite donne directement le terme cherché, la formule de récurrence relie chaque terme au précédent.
- Pour une suite géométrique, on observe que les termes se rapprochent de $0$ lorsque $-1 < q < 1$ (conjecture en première, démontrée en terminale).
- Les formules de somme permettent de calculer rapidement la somme de nombreux termes sans les additionner un par un.
- Bien identifier le type de suite (arithmétique ou géométrique) est essentiel pour appliquer les bonnes formules.
L'essentiel
Les suites arithmétiques et géométriques sont les deux modèles fondamentaux : l'une ajoute une constante, l'autre multiplie par une constante.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un cinéma propose un abonnement : le premier mois coûte 15 euros, puis chaque mois suivant coûte 2 euros de plus que le mois précédent. Quel sera le coût du 12e mois ? Combien aura-t-on dépensé au total après 12 mois ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Dans une culture, le nombre de bactéries double chaque heure. Au départ, il y a 1 000 bactéries. Combien y en aura-t-il après 5 heures ? Après combien d'heures dépassera-t-on 1 million de bactéries ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →