Extremums et condition f'(a) = 0 en 1ère
Extremums et condition f'(a) = 0, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Dérivation », au programme de 1ère. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Extremums et condition f'(a) = 0 : le cours
Soit $f$ dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $a$ un réel de $I$. Si $f$ admet un extremum local (maximum ou minimum) en $a$, alors $f'(a) = 0$ : la tangente y est horizontale. Cette condition est nécessaire mais pas suffisante : pour $f(x) = x^3$, $f'(0) = 0$ et pourtant $f$ n'a pas d'extremum en $0$. Si $f'$ s'annule en $a$ en changeant de signe, alors $f$ admet bien un extremum local en $a$.
Exemple
Au sommet d'une colline ou au fond d'une vallée, le sol est horizontal à l'endroit précis où l'on cesse de monter pour commencer à descendre (ou l'inverse).
À retenir
Si $f$ a un extremum en $a$, alors $f'(a) = 0$ (la réciproque est fausse : c'est le changement de signe de $f'$ en $a$ qui garantit l'extremum)
S'entraîner sur extremums et condition f'(a) = 0
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$. Calculez $f'(x)$, puis trouvez les points où $f'(x) = 0$. Déterminez si ce sont des maximums ou des minimums en étudiant le signe de $f'(x)$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Trouvez l'équation de la tangente à la courbe $g(x) = \frac{x}{x+1}$ au point d'abscisse $x = 1$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Dérivation (Mathématiques 1ère).
Autres notions de ce chapitre
- Taux de variation et nombre dérivé
- Tangente à une courbe en un point et approximation linéaire
- Fonction dérivée des fonctions de référence
- Dérivée d'une somme, d'un produit par un réel, d'un inverse
- Dérivée d'un quotient de fonctions
- Fonctions paires et impaires
- Lien entre signe de la dérivée et variations