Équations différentielles et modélisation en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de équations différentielles et modélisation pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- y'=ay et y'=ay+b
- Solutions analytiques et conditions initiales
- Modélisation de circuits RC, désintégration
- Oscillateurs mécaniques amortis
Équations différentielles y' = ay et y' = ay + b
Une équation différentielle relie une fonction inconnue $y$ et sa dérivée $y'$. Résoudre, c'est trouver toutes les fonctions qui la vérifient. Au programme : $y' = ay$ et $y' = ay + b$, où $a$ (non nul) et $b$ sont des constantes réelles.
Exemple
La loi de décroissance radioactive s'écrit $\dfrac{dN}{dt} = -\lambda N$ : c'est une équation du type $y' = ay$ avec $a = -\lambda$. La loi de refroidissement de Newton $\dfrac{dT}{dt} = -k(T - T_{amb})$ est du type $y' = ay + b$ avec $a = -k$ et $b = kT_{amb}$.
À retenir : Les solutions de $y' = ay$ sont les fonctions $y(x) = Ce^{ax}$ ($C$ réel). Les solutions de $y' = ay + b$ sont les fonctions $y(x) = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}$ ($C$ réel).
Solutions analytiques et conditions initiales
La solution analytique est la formule exacte qui résout l'équation différentielle. La condition initiale (valeur de la fonction à t=0) permet de trouver la constante d'intégration et d'obtenir une solution unique.
Exemple
Pour un circuit électrique, on connaît la tension initiale aux bornes du condensateur. Cette information permet de calculer comment la tension évoluera exactement au fil du temps.
À retenir : Sans condition initiale, il existe une infinité de solutions (une par valeur de $C$) ; une condition $y(x_0) = y_0$ fixe $C$ et la solution est alors unique.
Modélisation de circuits RC
Un circuit RC contient une résistance et un condensateur. L'équation différentielle décrit comment la charge ou la tension du condensateur change au cours du temps lors de la charge ou décharge.
Exemple
Quand on relie un condensateur chargé à une résistance, la tension à ses bornes diminue vite au début, puis de plus en plus lentement : au bout d'une durée $\tau = RC$, elle ne vaut plus qu'environ 37 % de sa valeur initiale.
À retenir : Pour un circuit RC en décharge : $\frac{dU}{dt} + \frac{U}{RC} = 0$, dont la solution est $U(t) = U_0 e^{-t/RC}$.
Modélisation de la désintégration radioactive
Le nombre $N(t)$ de noyaux radioactifs d'un échantillon diminue au cours du temps : le nombre de désintégrations par seconde est proportionnel au nombre de noyaux présents. On obtient l'équation $\dfrac{dN}{dt} = -\lambda N$, où $\lambda$ est la constante radioactive (en s$^{-1}$).
Exemple
Avec la condition initiale $N(0) = N_0$, la solution est $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$. La demi-vie $t_{1/2}$ est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux s'est désintégrée : $e^{-\lambda t_{1/2}} = \dfrac{1}{2}$, d'où $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$.
À retenir : Décroissance radioactive : $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ et $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$.
Oscillateurs mécaniques amortis
Un oscillateur amorti est un système qui oscille (comme un pendule ou un ressort) mais perd de l'énergie à cause des frottements. L'amplitude des oscillations diminue avec le temps. Son équation fait intervenir la dérivée seconde : sa résolution n'est pas au programme, on se contente de la reconnaître et de décrire le comportement.
Exemple
Une balançoire dans une cour : si tu la laisses seule, elle oscille de moins en moins haut jusqu'à s'arrêter complètement à cause de la résistance de l'air et des frottements.
À retenir : L'équation d'un oscillateur amorti est $m\frac{d^2x}{dt^2} + 2m\gamma\frac{dx}{dt} + kx = 0$ où γ est le coefficient d'amortissement.
Applications aux systèmes physiques réels
Les équations différentielles modélisent des phénomènes réels : refroidissement d'un objet, croissance d'une population, décharge d'une batterie, mouvement d'un véhicule. Elles permettent de prédire le comportement futur du système.
Exemple
Un café chaud qui refroidit sur une table : la vitesse de refroidissement dépend de la différence de température avec l'air ambiant. On peut prédire à quelle heure il sera à boire.
À retenir : Modéliser signifie traduire un phénomène réel en équation mathématique pour le comprendre et le prévoir.
Les points clés
- Une équation différentielle relie une fonction à ses dérivées ; résoudre signifie trouver la fonction inconnue
- La condition initiale est indispensable pour obtenir une solution unique et physiquement pertinente
- La décharge d'un condensateur et la décroissance radioactive suivent des lois exponentielles : évolution rapide au début, puis de plus en plus lente
- L'amortissement réduit l'amplitude des oscillations ; sans amortissement, le système oscille indéfiniment
- Les solutions analytiques permettent de prédire le comportement exact du système à tout instant
L'essentiel
Les équations différentielles $y' = ay$ et $y' = ay + b$ décrivent comment les systèmes physiques évoluent dans le temps ; leur solution dépend de la condition initiale et permet de prédire le comportement futur.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un condensateur de capacité C = 1 µF se décharge dans une résistance R = 10 kΩ. La tension initiale est U₀ = 10 V. Écris l'équation différentielle et trouve U(t). Calcule la tension après t = 0,1 s.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un objet chaud à 80 °C est placé dans une pièce à 20 °C. La loi de Newton dit que la vitesse de refroidissement est proportionnelle à la différence de température : $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_{amb})$ avec k = 0,1 min⁻¹. Trouve T(t) et calcule la température après 10 minutes.
Corrige cet exercice avec le tuteur →