Intégration et probabilités en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de intégration et probabilités pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Primitives et calcul intégral
- Équations différentielles du premier ordre
- Probabilités conditionnelles et loi binomiale
- Statistiques inférentielles et intervalles de confiance
Primitives et calcul intégral
Une primitive d'une fonction f est une fonction F dont la dérivée est f. L'intégrale permet de calculer l'aire sous une courbe entre deux points.
Exemple
Si tu veux connaître la distance parcourue par une voiture, tu intègres sa vitesse (fonction) sur l'intervalle de temps. La primitive de la vitesse te donne la position.
À retenir : L'intégrale de $f(x)$ de $a$ à $b$ est $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$ où $F$ est une primitive de $f$.
Équations différentielles du premier ordre
Une équation différentielle relie une fonction et ses dérivées. Du premier ordre signifie qu'on n'a que la dérivée première. Résoudre l'équation, c'est trouver la fonction qui la satisfait.
Exemple
La croissance d'une population de bactéries suit $\frac{dy}{dt} = ky$ : plus il y a de bactéries, plus elles se reproduisent vite. La solution est $y(t) = y_0 e^{kt}$.
À retenir : Pour $\frac{dy}{dt} = ay$, la solution générale est $y(t) = Ce^{at}$ où $C$ dépend des conditions initiales.
Probabilités conditionnelles et indépendance
La probabilité conditionnelle $P(A|B)$ est la probabilité que A se produise sachant que B s'est déjà produit. Deux événements sont indépendants si l'un n'influence pas l'autre.
Exemple
Au tennis : la probabilité de gagner le deuxième set sachant qu'on a perdu le premier. Ou : la probabilité qu'il pleuve demain est indépendante du résultat du match d'hier.
À retenir : $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ et $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
Loi binomiale et schéma de Bernoulli
Un schéma de Bernoulli est une répétition d'expériences identiques avec deux résultats possibles (succès ou échec). La loi binomiale compte le nombre de succès en n répétitions.
Exemple
Tu lances un dé 10 fois et tu comptes combien de fois tu obtiens un 6. C'est une loi binomiale avec $n=10$ et $p=\frac{1}{6}$.
À retenir : Pour une loi binomiale $B(n,p)$, $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ et l'espérance est $E(X) = np$.
Statistiques inférentielles et intervalles de confiance
L'inférence statistique consiste à tirer des conclusions sur une population entière à partir d'un échantillon. Un intervalle de confiance donne une plage où se situe probablement le vrai paramètre.
Exemple
Un sondage interroge 1000 personnes et trouve que 52% votent pour le candidat A. L'intervalle de confiance à 95% dit que le vrai pourcentage est probablement entre 49% et 55%.
À retenir : L'intervalle de confiance à 95% pour une proportion est $\left[p - 1.96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}, p + 1.96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right]$.
Les points clés
- L'intégrale calcule l'aire sous une courbe et se calcule avec une primitive grâce au théorème fondamental
- Les équations différentielles modélisent des phénomènes réels (croissance, refroidissement, mouvement)
- La probabilité conditionnelle change quand on a une information supplémentaire sur l'événement
- La loi binomiale compte les succès dans des répétitions indépendantes d'une même expérience
- Un intervalle de confiance quantifie l'incertitude : plus l'échantillon est grand, plus l'intervalle est étroit
L'essentiel
L'intégration et les probabilités sont les deux piliers pour modéliser et analyser des phénomènes réels : l'intégrale mesure des quantités continues, les probabilités gèrent l'incertitude.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Une population de virus suit l'équation différentielle $\frac{dN}{dt} = 0.1N$ où $N$ est le nombre de virus. Au temps $t=0$, il y a 100 virus. Combien y en a-t-il à $t=10$ jours ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
On lance une pièce équilibrée 8 fois. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 5 fois Pile ? Quel est le nombre moyen de Pile attendu ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →