Probabilités conditionnelles en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de probabilités conditionnelles pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Conditionnement par un événement de probabilité non nulle
- Arbre de probabilités pondéré
- Indépendance de deux événements
- Formule des probabilités totales
Conditionnement par un événement
La probabilité conditionnelle mesure la chance qu'un événement se produise sachant qu'un autre événement s'est déjà réalisé. On note $P_B(A)$ la probabilité de A sachant que B est réalisé.
Exemple
Tu sais qu'il pleut aujourd'hui. Quelle est la probabilité que tu prennes ton parapluie ? C'est une probabilité conditionnelle : la probabilité de prendre le parapluie SACHANT qu'il pleut.
À retenir : $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, où $P(B) \neq 0$.
Arbre de probabilités pondéré
Un arbre pondéré est un schéma qui représente tous les résultats possibles d'une expérience, avec les probabilités écrites sur chaque branche. Chaque chemin de l'arbre mène à un résultat final.
Exemple
Tu tires une carte d'un jeu, puis une deuxième sans remettre la première. L'arbre montre la première branche (52 cartes) puis la deuxième (51 cartes). Les probabilités changent à chaque étape.
À retenir : La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités sur les branches qui le composent.
Indépendance de deux événements
Deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de l'autre. La connaissance de B ne change rien pour A.
Exemple
Je lance un dé et je tire une carte. Le résultat du dé n'affecte pas la carte que je tire. Ces deux événements sont indépendants.
À retenir : A et B sont indépendants si et seulement si P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
Formule des probabilités totales
Cette formule permet de calculer la probabilité d'un événement en le découpant selon toutes les situations possibles qui le causent. On additionne les probabilités de chaque chemin qui y mène.
Exemple
Un magasin reçoit des téléphones de deux fournisseurs. Pour trouver la probabilité qu'un téléphone soit défectueux, tu ajoutes les probabilités des deux chemins de l'arbre : $P(D) = P(F_1) \times P_{F_1}(D) + P(F_2) \times P_{F_2}(D)$, où $F_1$ et $F_2$ désignent les fournisseurs et D l'événement « défectueux ». On pondère donc chaque taux de défaut par la part du fournisseur.
À retenir : Si $B_1$, $B_2$, …, $B_n$ forment une partition de l'univers, alors $P(A) = P(B_1) \times P_{B_1}(A) + P(B_2) \times P_{B_2}(A) + \dots + P(B_n) \times P_{B_n}(A)$.
Les points clés
- La probabilité conditionnelle $P_B(A)$ nécessite que $P(B) \neq 0$
- Sur un arbre pondéré, la somme des probabilités sur les branches partant d'un même nœud vaut toujours 1
- Deux événements indépendants (de probabilités non nulles) vérifient : $P_B(A) = P(A)$ et $P_A(B) = P(B)$
- La formule des probabilités totales s'applique quand les événements B forment une partition (disjoints et réunion = univers)
L'essentiel
Les probabilités conditionnelles permettent de mettre à jour nos connaissances : quand on apprend qu'un événement B s'est produit, on recalcule les probabilités en fonction de cette nouvelle information.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Dans un lycée, 60 % des élèves suivent l'option Maths et 40 % suivent l'option Physique. 30 % suivent les deux. On choisit un élève au hasard. Calculer la probabilité qu'il suive Maths sachant qu'il suit Physique.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une usine fabrique des pièces avec deux machines : la machine A produit 60 % des pièces, dont 2 % sont défectueuses ; la machine B produit 40 % des pièces, dont 5 % sont défectueuses. Quelle est la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →