Volumes des solides en 4ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de volumes des solides pour les élèves de 4ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Volume du prisme droit et du cylindre (rappel de 5e)
- Volume de la pyramide
- Volume du cône de révolution
- Lien entre le volume d'une pyramide (d'un cône) et celui du prisme (du cylindre) de même base et même hauteur
- Patron et perspective cavalière d'une pyramide ou d'un cône
- Conversions d'unités de volume et de contenance
- Problèmes combinant plusieurs solides
Volume du prisme droit et du cylindre (rappel de 5e)
Le volume d'un prisme droit ou d'un cylindre de révolution s'obtient en multipliant l'aire de sa base par sa hauteur. Pour un cylindre, la base est un disque de rayon $r$, d'aire $\pi \times r^2$.
Exemple
Une boîte de conserve cylindrique de rayon 4 cm et de hauteur 10 cm a pour volume $\pi \times 4^2 \times 10 = 160\pi \approx 502{,}7 \text{ cm}^3$. Un prisme droit dont la base est un triangle d'aire $6 \text{ cm}^2$ et de hauteur 5 cm a pour volume $6 \times 5 = 30 \text{ cm}^3$.
À retenir : Prisme droit et cylindre : $V = \mathcal{B} \times h$ ($\mathcal{B}$ = aire de la base) ; cylindre : $V = \pi \times r^2 \times h$.
Volume de la pyramide
Une pyramide a une base polygonale (triangle, carré, rectangle…) et des faces latérales triangulaires qui se rejoignent en un point, le sommet. Sa hauteur est la distance entre le sommet et le plan de la base, mesurée perpendiculairement à la base. Son volume est le tiers du produit de l'aire de la base par la hauteur.
Exemple
Une pyramide à base rectangulaire de 6 cm sur 4 cm et de hauteur 9 cm a pour volume $\frac{1}{3} \times (6 \times 4) \times 9 = \frac{1}{3} \times 24 \times 9 = 72 \text{ cm}^3$.
À retenir : Pyramide : $V = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$.
Volume du cône de révolution
Un cône de révolution a une base qui est un disque et un sommet situé à la verticale du centre de ce disque. Sa hauteur est la distance du sommet au centre de la base. Son volume est le tiers du produit de l'aire de la base par la hauteur.
Exemple
Un cornet de glace, assimilé à un cône de rayon 3 cm et de hauteur 12 cm, a pour volume $\frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 12 = 36\pi \approx 113{,}1 \text{ cm}^3$.
À retenir : Cône : $V = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h$.
Lien entre pyramide et prisme, cône et cylindre
Une pyramide a un volume égal au tiers de celui du prisme droit de même base et de même hauteur. De même, un cône a un volume égal au tiers de celui du cylindre de même base et de même hauteur. On peut le constater expérimentalement : il faut verser trois fois le contenu de la pyramide (ou du cône) pour remplir le prisme (ou le cylindre).
Exemple
Un cylindre de rayon 3 cm et de hauteur 12 cm a pour volume $\pi \times 3^2 \times 12 = 108\pi \text{ cm}^3$ ; le cône de même base et de même hauteur a pour volume $108\pi \div 3 = 36\pi \text{ cm}^3$.
À retenir : Même base et même hauteur : volume de la pyramide (du cône) = volume du prisme (du cylindre) ÷ 3.
Patron et perspective cavalière d'une pyramide ou d'un cône
Un patron est une figure plane qui, une fois découpée et pliée, permet de construire le solide sans superposition. Le patron d'une pyramide est formé de sa base et de ses faces latérales triangulaires, attachées aux côtés de la base. Le patron d'un cône de révolution est formé d'un disque (la base) et d'une portion de disque dont le rayon est la longueur d'une génératrice (segment joignant le sommet à un point du cercle de base) et dont l'arc a pour longueur le périmètre de la base. En perspective cavalière, les arêtes cachées sont dessinées en pointillés et les arêtes parallèles restent parallèles.
Exemple
Le patron d'une pyramide régulière à base carrée de côté 4 cm est formé d'un carré de côté 4 cm et de quatre triangles isocèles identiques, chacun ayant pour base un côté du carré. Pour un cône de base de rayon 3 cm, l'arc de la portion de disque mesure $2 \times \pi \times 3 = 6\pi \approx 18{,}8$ cm.
À retenir : Patron de pyramide : base + faces triangulaires. Patron de cône : disque + portion de disque de rayon égal à la génératrice. En perspective, arêtes cachées en pointillés.
Unités de volume et de contenance
Les unités de volume sont les unités « cubes » : $\text{mm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{dm}^3$, $\text{m}^3$. Un cube de 1 dm d'arête mesure aussi 10 cm d'arête, donc $1 \text{ dm}^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1\,000 \text{ cm}^3$ : entre deux unités de volume voisines, on multiplie ou on divise par 1 000. Les contenances s'expriment en litres : $1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3$ et $1 \text{ mL} = 1 \text{ cm}^3$.
Exemple
Une bouteille de 1,5 L contient $1{,}5 \text{ dm}^3 = 1\,500 \text{ cm}^3$. Une cuve de $2 \text{ m}^3$ contient $2 \times 1\,000 = 2\,000$ L.
À retenir : $1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ dm}^3$ ; $1 \text{ dm}^3 = 1\,000 \text{ cm}^3$ ; $1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3$ ; $1 \text{ mL} = 1 \text{ cm}^3$.
Problèmes combinant plusieurs solides
Un objet peut être formé de plusieurs solides assemblés, ou d'un solide dont on a retiré une partie. On le décompose en solides usuels, on calcule le volume de chacun, puis on additionne (assemblage) ou on soustrait (partie évidée). On vérifie que toutes les longueurs sont dans la même unité.
Exemple
Un silo est formé d'un cylindre surmonté d'un cône de même rayon : son volume est la somme du volume du cylindre et de celui du cône. Un cube de bois dans lequel on a creusé un trou cylindrique a pour volume celui du cube moins celui du cylindre.
À retenir : Décomposer, calculer chaque volume, puis additionner ou soustraire.
Les points clés
- Prisme droit et cylindre : $V = \mathcal{B} \times h$ ; cylindre : $V = \pi r^2 h$
- Pyramide et cône : $V = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$ ; cône : $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
- Une pyramide (un cône) a le tiers du volume du prisme (du cylindre) de même base et de même hauteur
- Patron d'une pyramide : base + faces triangulaires ; patron d'un cône : disque + portion de disque
- $1 \text{ dm}^3 = 1\,000 \text{ cm}^3 = 1 \text{ L}$ ; entre deux unités de volume voisines, le rapport est 1 000
- Pour un solide composé, on décompose en solides usuels et on additionne ou soustrait les volumes
L'essentiel
Le volume d'un prisme ou d'un cylindre vaut aire de la base × hauteur ; celui d'une pyramide ou d'un cône en est le tiers. Avec les conversions d'unités et la décomposition en solides simples, on résout la plupart des problèmes de volume.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Une pyramide a pour base un carré de 6 cm de côté et pour hauteur 10 cm. a) Calcule son volume. b) Calcule le volume du prisme droit (un pavé droit) de même base et de même hauteur, et compare.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un récipient est formé d'un cylindre de rayon 3 cm et de hauteur 10 cm, surmonté d'un cône de même rayon et de hauteur 4 cm. Calcule son volume en $\text{cm}^3$, arrondi à l'unité, puis exprime-le en litres.
Corrige cet exercice avec le tuteur →