Nombres irrationnels : √2 et π en 2nde
Nombres irrationnels : √2 et π, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Nombres et calculs », au programme de 2nde. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Nombres irrationnels : √2 et π : le cours
Un nombre réel est irrationnel s'il n'est pas rationnel, c'est-à-dire s'il ne peut pas s'écrire $\frac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ entiers ($b \neq 0$). $\sqrt{2}$ et $\pi$ sont irrationnels ; l'irrationalité de $\sqrt{2}$ se démontre en 2nde.
Exemple
La diagonale d'un carré de côté 1 mesure $\sqrt{2}$ (théorème de Pythagore) et un cercle de diamètre 1 a pour périmètre $\pi$. La calculatrice n'en donne que des valeurs approchées : $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ et $\pi \approx 3{,}1416$.
À retenir
Idée de la démonstration pour $\sqrt{2}$ : si $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ avec une fraction irréductible, alors $a^2 = 2b^2$, donc $a$ est pair ; on en déduit que $b$ est pair aussi, ce qui contredit l'irréductibilité.
S'entraîner sur nombres irrationnels : √2 et π
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Résous les équations suivantes : a) $(x - 3)(2x + 5) = 0$ ; b) $\frac{2x + 1}{x - 3} = 3$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Le volume d'un cylindre est donné par $V = \pi r^2 h$. a) Exprime $r$ en fonction de $V$ et $h$. b) Calcule $r$ pour $V = 1\,000$ cm³ et $h = 10$ cm, arrondi à trois chiffres significatifs.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Nombres et calculs (Mathématiques 2nde).
Autres notions de ce chapitre
- Les ensembles de nombres ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ
- Multiples, diviseurs, parité et fractions irréductibles
- Puissances entières relatives et racines carrées
- Calcul littéral : développer, factoriser, identités remarquables
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