Modéliser une situation par une fonction ; problèmes d'optimisation en 2nde
Modéliser une situation par une fonction ; problèmes d'optimisation, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Fonctions », au programme de 2nde. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Modéliser une situation par une fonction ; problèmes d'optimisation : le cours
Modéliser une situation par une fonction, c'est choisir la variable $x$, préciser son ensemble de définition (souvent imposé par le contexte), puis exprimer la grandeur étudiée en fonction de $x$. Un problème d'optimisation consiste ensuite à chercher pour quelle valeur de $x$ cette grandeur est maximale ou minimale, à l'aide d'un tableau de variations, de la courbe ou d'un outil numérique.
Exemple
Avec $20$ m de clôture, on délimite un rectangle de largeur $x$ (en m). Sa longueur est $10 - x$, donc son aire vaut $A(x) = x(10 - x)$ pour $x \in [0 ; 10]$. On vérifie que $A(x) = 25 - (x - 5)^2$ ; comme un carré est positif ou nul, $A(x) \leq 25$, avec égalité pour $x = 5$ : l'aire est maximale pour un carré de côté $5$ m, et vaut alors $25$ m².
À retenir
Toujours préciser la variable, son unité et son ensemble de définition avant de chercher un maximum ou un minimum.
S'entraîner sur modéliser une situation par une fonction ; problèmes d'optimisation
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Soit la fonction affine $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -2x + 5$. 1. Calculez $f(-1)$ et $f(3)$. 2. Donnez le sens de variation de $f$ en justifiant. 3. Résolvez $f(x) = 0$, puis donnez le tableau de signes de $f(x)$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une fonction $f$ est définie sur $[0 ; 5]$. Elle est croissante sur $[0 ; 2]$ et décroissante sur $[2 ; 5]$, avec $f(0) = 1$, $f(2) = 4$ et $f(5) = 2$. 1. Dressez son tableau de variations. 2. Donnez le maximum et le minimum de $f$ sur $[0 ; 5]$, en précisant où ils sont atteints. 3. Combien l'équation $f(x) = 3$ a-t-elle de solutions sur $[0 ; 5]$ ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Fonctions (Mathématiques 2nde).
Autres notions de ce chapitre
- Notion de fonction : image et antécédent
- Ensemble de définition d'une fonction
- Courbe représentative : équation y = f(x), appartenance d'un point
- Croissance, décroissance, monotonie sur un intervalle
- Tableau de variations d'une fonction
- Maximum, minimum d'une fonction sur un intervalle
- Tableau de signes d'une fonction
- Fonctions affines : coefficient directeur, ordonnée à l'origine, sens de variation et signe
- Résoudre f(x) = k, f(x) < k, f(x) = g(x), f(x) < g(x)