Second degré en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de second degré pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Trinôme du second degré : forme canonique
- Discriminant et résolution d'équations
- Signe du trinôme, factorisation
- Somme et produit des racines (relations de Viète)
- Applications : inéquations du second degré
Trinôme du second degré et forme canonique
Un trinôme du second degré est une expression de la forme $ax^2 + bx + c$ où $a ≠ 0$. La forme canonique réécrit ce trinôme sous la forme $a(x - α)^2 + β$, ce qui permet de voir facilement le sommet de la parabole.
Exemple
La trajectoire d'un ballon de basket suit une parabole. La forme canonique permet de trouver la hauteur maximale atteinte par le ballon et à quel moment.
À retenir : La forme canonique $a(x - α)^2 + β$ donne directement le sommet de la parabole : le point $(α, β)$.
Discriminant et résolution d'équations
Le discriminant, noté $Δ = b^2 - 4ac$, est un nombre qui détermine le nombre de solutions d'une équation du second degré. Si $Δ > 0$, il y a 2 solutions ; si $Δ = 0$, il y a 1 solution ; si $Δ < 0$, il n'y a pas de solution réelle.
Exemple
Un entrepreneur veut savoir si son profit peut atteindre zéro. En calculant le discriminant de son équation de profit, il sait s'il y a des moments où il ne gagne ni ne perd.
À retenir : Le discriminant $Δ = b^2 - 4ac$ détermine le nombre de solutions : $Δ > 0$ → 2 solutions, $Δ = 0$ → 1 solution, $Δ < 0$ → 0 solution.
Signe du trinôme et factorisation
Le signe d'un trinôme $ax^2 + bx + c$ dépend du signe de $a$ et des racines. Si on connaît les racines, on peut factoriser le trinôme sous la forme $a(x - x_1)(x - x_2)$, ce qui facilite l'étude du signe.
Exemple
Un magasin modélise ses ventes par une parabole. En factorisant, il peut déterminer les périodes où les ventes augmentent ou diminuent.
À retenir : Si $x_1$ et $x_2$ sont les racines, alors $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
Somme et produit des racines (Viète)
Pour une équation $ax^2 + bx + c = 0$ avec racines $x_1$ et $x_2$, les relations de Viète donnent : $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ et $x_1 × x_2 = \frac{c}{a}$. Cela permet de trouver les racines sans calculer le discriminant.
Exemple
Un ingénieur connaît que deux dimensions d'une pièce rectangulaire ont une somme de 10 m et un produit de 24 m². Il peut retrouver ces deux dimensions sans résoudre l'équation complète.
À retenir : Somme des racines : $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ ; Produit des racines : $x_1 × x_2 = \frac{c}{a}$.
Inéquations du second degré
Une inéquation du second degré est une inégalité de la forme $ax^2 + bx + c > 0$ (ou $<$, $≥$, $≤$). Pour la résoudre, on trouve les racines, on étudie le signe du trinôme, puis on donne l'ensemble des solutions.
Exemple
Un agriculteur veut que son rendement soit supérieur à 100 tonnes. Son rendement suit la courbe $-2x^2 + 20x + 50$. Il résout l'inéquation $-2x^2 + 20x + 50 > 100$ pour trouver les périodes favorables.
À retenir : Pour résoudre une inéquation du second degré : trouver les racines, faire un tableau de signes, puis lire l'ensemble solution.
Les points clés
- Le discriminant $Δ = b^2 - 4ac$ détermine complètement le nombre et la nature des solutions
- La forme canonique $a(x - α)^2 + β$ permet de lire directement le sommet et l'axe de symétrie de la parabole
- Les relations de Viète ($x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ et $x_1 × x_2 = \frac{c}{a}$) offrent un raccourci pour trouver les racines
- Le signe du trinôme dépend du signe de $a$ et de la position de $x$ par rapport aux racines
- Pour résoudre une inéquation, on utilise toujours un tableau de signes après avoir trouvé les racines
L'essentiel
Le discriminant $Δ = b^2 - 4ac$ est la clé du second degré : il détermine le nombre de solutions et permet de factoriser le trinôme.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Résoudre l'équation $2x^2 - 5x + 3 = 0$ en utilisant le discriminant, puis factoriser le trinôme.
Corrige cet exercice avec le tuteur →