Second degré en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de second degré pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Trinôme du second degré : forme canonique
- Discriminant et résolution d'équations
- Signe du trinôme, factorisation
- Somme et produit des racines (relations de Viète)
- Applications : inéquations du second degré
Trinôme du second degré et forme canonique
Un trinôme du second degré est une expression de la forme $ax^2 + bx + c$ où $a ≠ 0$. La forme canonique réécrit ce trinôme sous la forme $a(x - α)^2 + β$, ce qui permet de voir facilement le sommet de la parabole. On a $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$ ; dans les cas simples, on obtient la forme canonique par complétion du carré, grâce à l'identité $x^2 + 2kx = (x + k)^2 - k^2$.
Exemple
$x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 9 + 5 = (x - 3)^2 - 4$ : la parabole a pour sommet le point $(3 ; -4)$. De même, pour la trajectoire parabolique d'un ballon, la forme canonique donne la hauteur maximale atteinte et le moment où elle est atteinte.
À retenir : La forme canonique $a(x - α)^2 + β$ donne directement le sommet de la parabole : le point $(\alpha ; \beta)$. Si $a > 0$, $\beta$ est le minimum de la fonction ; si $a < 0$, c'est son maximum.
Discriminant et résolution d'équations
Le discriminant, noté $Δ = b^2 - 4ac$, est un nombre qui détermine le nombre de solutions d'une équation du second degré. Si $Δ > 0$, il y a 2 solutions ; si $Δ = 0$, il y a une seule solution (dite double) ; si $Δ < 0$, il n'y a pas de solution réelle. Si $\Delta > 0$, les solutions sont $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ ; si $\Delta = 0$, la solution est $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Exemple
Un entrepreneur veut savoir si son profit peut atteindre zéro. En calculant le discriminant de son équation de profit, il sait s'il y a des moments où il ne gagne ni ne perd.
À retenir : Le discriminant $Δ = b^2 - 4ac$ détermine le nombre de solutions : $Δ > 0$ → 2 solutions, $Δ = 0$ → 1 solution, $Δ < 0$ → 0 solution.
Signe du trinôme et factorisation
Le signe d'un trinôme $ax^2 + bx + c$ dépend du signe de $a$ et de ses racines. Si $\Delta > 0$, il se factorise en $a(x - x_1)(x - x_2)$ : il est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe contraire entre les racines. Si $\Delta = 0$, il s'écrit $a(x - x_0)^2$ : il est du signe de $a$ et s'annule en $x_0$. Si $\Delta < 0$, il ne se factorise pas et il est toujours du signe de $a$.
Exemple
$1$ et $3$ sont racines de $2x^2 - 8x + 6$ (car $2 - 8 + 6 = 0$ et $18 - 24 + 6 = 0$), donc $2x^2 - 8x + 6 = 2(x - 1)(x - 3)$ : le trinôme est positif sur $]-\infty ; 1[ \cup ]3 ; +\infty[$ et négatif sur $]1 ; 3[$.
À retenir : Si $\Delta > 0$ : $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe contraire entre elles. Si $\Delta < 0$ : toujours du signe de $a$.
Somme et produit des racines (Viète)
Pour une équation $ax^2 + bx + c = 0$ ayant deux racines $x_1$ et $x_2$ (distinctes ou confondues, donc lorsque $\Delta \geq 0$), les relations de Viète donnent : $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ et $x_1 × x_2 = \frac{c}{a}$. Dans les cas simples, cela permet de trouver les racines de tête (par exemple l'autre racine quand on connaît une racine évidente), sans calculer le discriminant.
Exemple
Pour $x^2 - 10x + 24$, on cherche deux nombres de somme $10$ et de produit $24$ : ce sont $4$ et $6$, donc $x^2 - 10x + 24 = (x - 4)(x - 6)$. Autre usage : $1$ est racine évidente de $3x^2 + 2x - 5$ (car $3 + 2 - 5 = 0$) ; le produit des racines vaut $-\frac{5}{3}$, donc l'autre racine est $-\frac{5}{3}$.
À retenir : Somme des racines : $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ ; Produit des racines : $x_1 × x_2 = \frac{c}{a}$.
Inéquations du second degré
Une inéquation du second degré est une inégalité de la forme $ax^2 + bx + c > 0$ (ou $<$, $≥$, $≤$). Pour la résoudre, on trouve les racines, on étudie le signe du trinôme, puis on donne l'ensemble des solutions.
Exemple
Un agriculteur modélise son rendement (en tonnes) par $-2x^2 + 20x + 50$, où $x$ est un paramètre de culture. Il veut un rendement supérieur à $82$ tonnes : il résout $-2x^2 + 20x + 50 > 82$, soit $-2x^2 + 20x - 32 > 0$, c'est-à-dire $-2(x - 2)(x - 8) > 0$. Le trinôme est du signe contraire de $a = -2$ entre ses racines, donc l'ensemble des solutions est $]2 ; 8[$.
À retenir : Pour résoudre une inéquation du second degré : trouver les racines, faire un tableau de signes, puis lire l'ensemble solution.
Les points clés
- Le discriminant $Δ = b^2 - 4ac$ détermine complètement le nombre et la nature des solutions
- La forme canonique $a(x - α)^2 + β$ permet de lire directement le sommet et l'axe de symétrie de la parabole
- Les relations de Viète ($x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ et $x_1 × x_2 = \frac{c}{a}$) offrent un raccourci pour trouver les racines dans les cas simples (racine évidente, petits entiers)
- Le signe du trinôme dépend du signe de $a$ et de la position de $x$ par rapport aux racines
- Pour résoudre une inéquation, on cherche les racines puis on étudie le signe du trinôme (règle du signe de $a$ ou tableau de signes)
L'essentiel
Le discriminant $Δ = b^2 - 4ac$ est la clé du second degré : il détermine le nombre de solutions et permet, lorsque $\Delta \geq 0$, de factoriser le trinôme.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Résoudre l'équation $2x^2 - 5x + 3 = 0$ en utilisant le discriminant, puis factoriser le trinôme.
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