Statistique à deux variables quantitatives en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de statistique à deux variables quantitatives pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Nuage de points et ajustement affine (droite des moindres carrés, à l'aide d'outils numériques)
- Coefficient de détermination R² : pertinence d'un ajustement
- Interpoler ou extrapoler ; distinguer corrélation et causalité
Nuage de points et ajustement affine
Un nuage de points représente graphiquement deux variables : chaque point a pour coordonnées (x, y). L'ajustement affine consiste à tracer une droite qui se rapproche au maximum de tous les points pour en voir la tendance.
Exemple
Tu relèves la taille et le poids de 10 copains : chaque copain devient un point sur le graphique. Si tu traces une droite à travers ces points, tu vois si plus on est grand, plus on est lourd.
À retenir : La droite d'ajustement $y = ax + b$ passe au plus près des points du nuage pour montrer la relation entre les deux variables.
Coefficient de détermination R² et tendance
Pour juger si un ajustement affine est pertinent, on utilise le coefficient de détermination, noté $R^2$, obtenu avec la calculatrice ou le tableur (option « afficher le coefficient de détermination » de la courbe de tendance). Il est compris entre 0 et 1 : plus il est proche de 1, plus les points sont proches de la droite et plus l'ajustement affine est pertinent. Certaines calculatrices affichent aussi un nombre r, le coefficient de corrélation : $R^2$ est son carré ($R^2 = r^2$).
Exemple
Chez les adolescents, la pointure a tendance à augmenter avec la taille : le nuage « monte » et la droite d'ajustement a un coefficient directeur positif. Quand on monte en altitude, la température baisse : le nuage « descend » et le coefficient directeur est négatif. Dans les deux cas, si le tableur affiche un $R^2$ proche de 1 (par exemple $R^2 = 0{,}95$), l'ajustement affine est pertinent. Pour la pointure et la note en maths, on obtient un $R^2$ proche de 0 : aucune droite ne résume ce nuage.
À retenir : $0 \leq R^2 \leq 1$ ; plus $R^2$ est proche de 1, plus l'ajustement affine est pertinent. Le sens de la tendance (croissante ou décroissante) se lit sur le signe du coefficient directeur $a$ de la droite, pas sur $R^2$.
Interpolation, extrapolation et prudence
Interpoler, c'est utiliser la droite d'ajustement pour estimer une valeur à l'intérieur de la plage des valeurs observées. Extrapoler, c'est l'utiliser en dehors de cette plage : c'est plus risqué, car rien ne garantit que la tendance continue. Enfin, un $R^2$ proche de 1 montre que les deux variables évoluent ensemble, mais pas que l'une est la cause de l'autre : corrélation ne veut pas dire causalité.
Exemple
Les ventes de glaces et le nombre de coups de soleil augmentent ensemble en été : le nuage peut être très allongé, avec un $R^2$ proche de 1. Pourtant, manger des glaces ne provoque pas de coups de soleil : les deux dépendent d'un troisième facteur, l'ensoleillement.
À retenir : Interpolation (dans la zone observée) : estimation raisonnable. Extrapolation (hors de la zone observée) : à faire avec prudence. Une forte corrélation n'est pas une preuve de cause à effet.
Les points clés
- La droite d'ajustement affine a pour équation $y = ax + b$ où a est le coefficient directeur (la pente) et b l'ordonnée à l'origine
- Le coefficient de détermination $R^2$, donné par la calculatrice ou le tableur, vérifie $0 \leq R^2 \leq 1$
- Plus $R^2$ est proche de 1, plus l'ajustement affine est pertinent ; une corrélation forte n'est pas une preuve de cause à effet
- Le point moyen $G(\bar{x} ; \bar{y})$ appartient à la droite des moindres carrés ; une droite tracée au jugé ne passe pas forcément par lui
- Interpolation = estimation dans la zone observée ; extrapolation = estimation hors de cette zone, moins fiable
L'essentiel
L'ajustement affine permet d'estimer une variable à partir d'une autre lorsque le coefficient de détermination $R^2$ est proche de 1 ; on privilégie l'interpolation, on extrapole avec prudence, et une corrélation ne prouve pas une cause.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
On étudie la relation entre le nombre d'heures d'entraînement (x) et le nombre de points marqués au match (y) pour 5 joueurs de basket. Données : (2 ; 15), (3 ; 18), (4 ; 22), (5 ; 25), (6 ; 28). Trace le nuage de points, calcule les coordonnées du point moyen G, puis donne une équation de la droite d'ajustement obtenue avec la calculatrice ou le tableur. Utilise-la pour estimer le nombre de points marqués avec 4,5 heures d'entraînement.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une entreprise relève, pendant 5 mois, sa dépense publicitaire mensuelle x (en centaines d'euros) et son chiffre d'affaires mensuel y (en milliers d'euros) : (1 ; 12), (2 ; 15), (3 ; 17), (4 ; 20), (5 ; 21). Le tableur donne la droite d'ajustement d'équation $y = 2{,}3x + 10{,}1$ et le coefficient de détermination $R^2 \approx 0{,}98$. 1) L'ajustement affine est-il pertinent ? 2) Estime le chiffre d'affaires pour une dépense de 350 €, puis pour une dépense de 1 500 €. Laquelle de ces estimations est la plus fiable ? 3) Peut-on affirmer que c'est la publicité qui fait augmenter le chiffre d'affaires ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →