Statistiques à deux variables et échantillonnage en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de statistiques à deux variables et échantillonnage pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Nuage de points et ajustement affine
- Coefficient de corrélation et tendance
- Intervalle de fluctuation d'une fréquence
- Prise de décision à partir d'un échantillon
- Contrôle qualité statistique
Nuage de points et ajustement affine
Un nuage de points est un graphique où chaque point représente deux informations liées (par exemple, le temps d'étude et la note obtenue). L'ajustement affine consiste à tracer une droite qui passe au plus près de tous ces points pour voir la tendance générale.
Exemple
Un coach analyse la relation entre le nombre d'heures d'entraînement par semaine et le temps réalisé au 100m. Il place chaque athlète comme un point sur un graphique, puis trace une droite pour voir si plus on s'entraîne, plus on est rapide.
À retenir : La droite d'ajustement affine permet de prédire une valeur inconnue en prolongeant la tendance observée.
Coefficient de corrélation et tendance
Le coefficient de corrélation mesure la force de la relation entre deux variables : il vaut entre -1 et 1. Plus il est proche de 1 ou -1, plus la relation est forte. Une corrélation positive signifie que quand l'une augmente, l'autre augmente aussi.
Exemple
Dans un magasin, on observe que plus la température augmente, plus les ventes de glaces augmentent. Le coefficient de corrélation sera proche de 1 (corrélation positive forte). À l'inverse, plus la température augmente, moins on vend de chocolats chauds (corrélation négative).
À retenir : Un coefficient de corrélation proche de 0 signifie qu'il n'y a pas de lien entre les deux variables.
Intervalle de fluctuation d'une fréquence
L'intervalle de fluctuation est une plage de valeurs dans laquelle on s'attend à trouver la fréquence observée dans un échantillon. Il permet de savoir si un résultat est normal ou surprenant. La formule est : $\left[p - 1,96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}, p + 1,96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right]$ où $p$ est la probabilité théorique et $n$ la taille de l'échantillon.
Exemple
Un fabricant de pièces dit que 95% de sa production est sans défaut. On teste 100 pièces et on en trouve 92 sans défaut (92%). On calcule l'intervalle de fluctuation pour vérifier si ce résultat est acceptable ou si le fabricant ment.
À retenir : Si la fréquence observée sort de l'intervalle de fluctuation, c'est qu'il y a un problème.
Prise de décision à partir d'un échantillon
Prendre une décision statistique signifie accepter ou rejeter une hypothèse en fonction de ce qu'on observe dans un échantillon. Si la fréquence observée est dans l'intervalle de fluctuation, on accepte l'hypothèse. Sinon, on la rejette.
Exemple
Une usine affirme que 98% de ses produits fonctionnent correctement. On teste 200 produits et on en trouve 190 qui fonctionnent (95%). Cela sort de l'intervalle de fluctuation, donc on rejette l'affirmation de l'usine.
À retenir : La décision se fait en comparant la fréquence observée à l'intervalle de fluctuation calculé.
Contrôle qualité statistique
Le contrôle qualité statistique consiste à tester régulièrement des échantillons de production pour vérifier que la qualité reste acceptable. On utilise les intervalles de fluctuation pour décider si la production doit continuer ou s'il faut arrêter et corriger les machines.
Exemple
Une boulangerie industrielle produit 10 000 pains par jour. Chaque heure, on teste 50 pains pour vérifier qu'ils pèsent bien 500g. Si trop de pains sont trop légers, on arrête la chaîne pour régler la machine.
À retenir : Le contrôle qualité utilise les statistiques pour maintenir un niveau de qualité constant dans la production.
Les points clés
- Le nuage de points visualise la relation entre deux variables et la droite d'ajustement affine montre la tendance
- Le coefficient de corrélation quantifie la force de la relation : proche de 1 ou -1 = forte relation, proche de 0 = pas de relation
- L'intervalle de fluctuation définit la plage normale pour une fréquence observée dans un échantillon
- On prend une décision en comparant la fréquence observée à l'intervalle de fluctuation
- Le contrôle qualité applique ces outils pour vérifier que la production respecte les normes
L'essentiel
Les statistiques à deux variables permettent de détecter des tendances et de prendre des décisions fiables en comparant les observations à ce qu'on attend théoriquement.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Une entreprise fabrique des vis. Elle affirme que 99% de sa production est conforme. On teste un échantillon de 200 vis et on en trouve 194 conformes. Calculez l'intervalle de fluctuation avec $p = 0,99$ et $n = 200$, puis décidez si l'affirmation de l'entreprise est acceptable.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un coach mesure le lien entre le nombre de séances d'entraînement par mois et le nombre de buts marqués. Il obtient un coefficient de corrélation de 0,85. Interprétez ce résultat.
Corrige cet exercice avec le tuteur →