Égalité de deux vecteurs, représentants, vecteur nul en 2nde
Égalité de deux vecteurs, représentants, vecteur nul, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Vecteurs du plan », au programme de 2nde. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Égalité de deux vecteurs, représentants, vecteur nul : le cours
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est associé à la translation qui transforme $A$ en $B$. Pour $A \neq B$, il est caractérisé par une direction (celle de la droite $(AB)$), un sens (de $A$ vers $B$) et une norme (la longueur $AB$). Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme ; $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ équivaut à « $ABCD$ est un parallélogramme (éventuellement aplati) ». Un même vecteur $\vec{u}$ a une infinité de représentants : tous les couples de points $(A, B)$ tels que $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$. Le vecteur nul, noté $\vec{0}$, est $\overrightarrow{AA}$ ; sa norme est $0$.
Exemple
Dans le parallélogramme $ABCD$ : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, donc $(A, B)$ et $(D, C)$ sont deux représentants d'un même vecteur. En revanche, $\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{CD}$ : même direction et même norme, mais sens contraires.
À retenir
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ si et seulement si $ABCD$ est un parallélogramme (éventuellement aplati) ; $\overrightarrow{AA} = \vec{0}$.
S'entraîner sur égalité de deux vecteurs, représentants, vecteur nul
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Dans un repère orthonormé, on donne $A(-1 ; 2)$, $B(3 ; 4)$, $C(4 ; 1)$ et $D(0 ; -1)$. 1. Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et de $\overrightarrow{DC}$. 2. Vérifie que $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés, puis déduis-en que $ABCD$ est un parallélogramme. 3. Calcule les coordonnées de son centre $I$ et la longueur $AB$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Dans un repère orthonormé, on donne $A(1 ; 2)$, $B(4 ; 6)$, $C(7 ; y)$ avec $y$ réel, $D(0 ; 0)$ et $E(-6 ; -8)$. 1. Détermine $y$ pour que $A$, $B$, $C$ soient alignés. 2. Les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont-elles parallèles ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Vecteurs du plan (Mathématiques 2nde).
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