Base orthonormée : coordonnées d'un vecteur, coordonnées de AB en 2nde
Base orthonormée : coordonnées d'un vecteur, coordonnées de AB, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Vecteurs du plan », au programme de 2nde. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Base orthonormée : coordonnées d'un vecteur, coordonnées de AB : le cours
Une base orthonormée $(\vec{i}, \vec{j})$ est formée de deux vecteurs de norme $1$ et de directions perpendiculaires. Tout vecteur s'écrit de façon unique $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$ : $x$ et $y$ sont les coordonnées de $\vec{u}$, notées en colonne $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. Dans un repère orthonormé $(O ; \vec{i}, \vec{j})$, pour $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$, $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$. Les coordonnées d'une somme de vecteurs sont les sommes des coordonnées.
Exemple
Avec $A(2 ; 3)$ et $B(5 ; 7)$ : $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$. Si $\vec{v}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$, alors $\overrightarrow{AB} + \vec{v}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}$.
À retenir
Coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ : « arrivée moins départ ». Deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coordonnées.
S'entraîner sur base orthonormée : coordonnées d'un vecteur, coordonnées de ab
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Dans un repère orthonormé, on donne $A(-1 ; 2)$, $B(3 ; 4)$, $C(4 ; 1)$ et $D(0 ; -1)$. 1. Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et de $\overrightarrow{DC}$. 2. Vérifie que $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés, puis déduis-en que $ABCD$ est un parallélogramme. 3. Calcule les coordonnées de son centre $I$ et la longueur $AB$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Dans un repère orthonormé, on donne $A(1 ; 2)$, $B(4 ; 6)$, $C(7 ; y)$ avec $y$ réel, $D(0 ; 0)$ et $E(-6 ; -8)$. 1. Détermine $y$ pour que $A$, $B$, $C$ soient alignés. 2. Les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont-elles parallèles ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Vecteurs du plan (Mathématiques 2nde).
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