Caractérisation vectorielle du milieu d'un segment en 2nde
Caractérisation vectorielle du milieu d'un segment, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Vecteurs du plan », au programme de 2nde. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Caractérisation vectorielle du milieu d'un segment : le cours
$I$ est le milieu du segment $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}$, ce qui équivaut à $\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. En coordonnées, on en déduit $I\left(\frac{x_A + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$.
Exemple
Avec $A(2 ; 5)$ et $B(8 ; 1)$ : $I(5 ; 3)$. On a $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AI}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$, donc bien $\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
À retenir
$I$ milieu de $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}$ ; ses coordonnées sont les moyennes de celles de $A$ et de $B$.
S'entraîner sur caractérisation vectorielle du milieu d'un segment
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Dans un repère orthonormé, on donne $A(-1 ; 2)$, $B(3 ; 4)$, $C(4 ; 1)$ et $D(0 ; -1)$. 1. Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et de $\overrightarrow{DC}$. 2. Vérifie que $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés, puis déduis-en que $ABCD$ est un parallélogramme. 3. Calcule les coordonnées de son centre $I$ et la longueur $AB$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Dans un repère orthonormé, on donne $A(1 ; 2)$, $B(4 ; 6)$, $C(7 ; y)$ avec $y$ réel, $D(0 ; 0)$ et $E(-6 ; -8)$. 1. Détermine $y$ pour que $A$, $B$, $C$ soient alignés. 2. Les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont-elles parallèles ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Vecteurs du plan (Mathématiques 2nde).
Autres notions de ce chapitre
- Égalité de deux vecteurs, représentants, vecteur nul
- Somme de vecteurs, relation de Chasles, différence
- Produit d'un vecteur par un réel
- Base orthonormée : coordonnées d'un vecteur, coordonnées de AB
- Norme d'un vecteur
- Colinéarité : déterminant de deux vecteurs, proportionnalité des coordonnées
- Alignement et parallélisme par la colinéarité
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