Décomposer un vecteur selon deux vecteurs non colinéaires en 2nde
Décomposer un vecteur selon deux vecteurs non colinéaires, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Vecteurs du plan », au programme de 2nde. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Décomposer un vecteur selon deux vecteurs non colinéaires : le cours
Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, tout vecteur $\vec{w}$ du plan s'écrit de façon unique $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$, avec $a$ et $b$ réels. Pour trouver $a$ et $b$, on utilise la relation de Chasles sur une figure, ou bien on résout un système à partir des coordonnées.
Exemple
Dans le parallélogramme $ABCD$ de centre $O$ : $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$. En coordonnées : avec $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{v}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec{w}\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$, on cherche $a$ et $b$ tels que $a + b = 5$ et $b = 2$, d'où $\vec{w} = 3\vec{u} + 2\vec{v}$.
À retenir
Deux vecteurs non colinéaires suffisent pour exprimer tous les vecteurs du plan.
S'entraîner sur décomposer un vecteur selon deux vecteurs non colinéaires
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Dans un repère orthonormé, on donne $A(-1 ; 2)$, $B(3 ; 4)$, $C(4 ; 1)$ et $D(0 ; -1)$. 1. Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et de $\overrightarrow{DC}$. 2. Vérifie que $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés, puis déduis-en que $ABCD$ est un parallélogramme. 3. Calcule les coordonnées de son centre $I$ et la longueur $AB$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Dans un repère orthonormé, on donne $A(1 ; 2)$, $B(4 ; 6)$, $C(7 ; y)$ avec $y$ réel, $D(0 ; 0)$ et $E(-6 ; -8)$. 1. Détermine $y$ pour que $A$, $B$, $C$ soient alignés. 2. Les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont-elles parallèles ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Vecteurs du plan (Mathématiques 2nde).
Autres notions de ce chapitre
- Égalité de deux vecteurs, représentants, vecteur nul
- Somme de vecteurs, relation de Chasles, différence
- Produit d'un vecteur par un réel
- Base orthonormée : coordonnées d'un vecteur, coordonnées de AB
- Norme d'un vecteur
- Caractérisation vectorielle du milieu d'un segment
- Colinéarité : déterminant de deux vecteurs, proportionnalité des coordonnées
- Alignement et parallélisme par la colinéarité