Colinéarité : déterminant de deux vecteurs, proportionnalité des coordonnées en 2nde
Colinéarité : déterminant de deux vecteurs, proportionnalité des coordonnées, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Vecteurs du plan », au programme de 2nde. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Colinéarité : déterminant de deux vecteurs, proportionnalité des coordonnées : le cours
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si l'un est le produit de l'autre par un réel (le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur). Dans une base orthonormée, le déterminant de $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ est $\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y$. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si $\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$, c'est-à-dire si leurs coordonnées sont proportionnelles.
Exemple
$\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} -4 \\ 6 \end{pmatrix}$ : $\det(\vec{u}, \vec{v}) = 2 \times 6 - (-4) \times (-3) = 12 - 12 = 0$, donc ils sont colinéaires (en effet $\vec{v} = -2\vec{u}$). Avec $\vec{w}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ : $\det(\vec{u}, \vec{w}) = 2 \times 1 - 1 \times (-3) = 5 \neq 0$, donc $\vec{u}$ et $\vec{w}$ ne sont pas colinéaires.
À retenir
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ colinéaires si et seulement si $xy' - x'y = 0$, c'est-à-dire si leurs coordonnées sont proportionnelles.
S'entraîner sur colinéarité : déterminant de deux vecteurs, proportionnalité des coordonnées
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Dans un repère orthonormé, on donne $A(-1 ; 2)$, $B(3 ; 4)$, $C(4 ; 1)$ et $D(0 ; -1)$. 1. Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et de $\overrightarrow{DC}$. 2. Vérifie que $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés, puis déduis-en que $ABCD$ est un parallélogramme. 3. Calcule les coordonnées de son centre $I$ et la longueur $AB$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Dans un repère orthonormé, on donne $A(1 ; 2)$, $B(4 ; 6)$, $C(7 ; y)$ avec $y$ réel, $D(0 ; 0)$ et $E(-6 ; -8)$. 1. Détermine $y$ pour que $A$, $B$, $C$ soient alignés. 2. Les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont-elles parallèles ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Vecteurs du plan (Mathématiques 2nde).
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