Proportionnalité et pourcentages appliqués en 2nde
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de proportionnalité et pourcentages appliqués pour les élèves de 2nde. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Coefficient de proportionnalité et tableaux
- Pourcentages d'augmentation et de diminution
- Taux d'évolution et évolutions successives
- Échelles et unités de mesure professionnelles
- Applications aux situations commerciales et techniques
Coefficient de proportionnalité et tableaux
Le coefficient de proportionnalité est le nombre par lequel on multiplie une valeur pour obtenir l'autre. Deux grandeurs sont proportionnelles si leur rapport est toujours le même.
Exemple
Si 3 kg de pommes coûtent 6 euros, le coefficient est 2 (prix par kg). Pour 5 kg, on calcule 5 × 2 = 10 euros.
À retenir : Dans un tableau de proportionnalité, le coefficient k = valeur 2 / valeur 1 est constant pour tous les couples.
Pourcentages d'augmentation et de diminution
Un pourcentage d'augmentation ou de diminution exprime le changement d'une valeur par rapport à sa valeur initiale. On l'exprime en pourcentage (%).
Exemple
Un article à 50 euros augmente de 20 %. L'augmentation est 50 × 0,20 = 10 euros. Le nouveau prix est 60 euros.
À retenir : Augmenter de $p$ % : multiplier par $\left(1 + \frac{p}{100}\right)$. Diminuer de $p$ % : multiplier par $\left(1 - \frac{p}{100}\right)$.
Taux d'évolution et évolutions successives
Le taux d'évolution entre une valeur de départ $V_D$ et une valeur d'arrivée $V_A$ est $t = \frac{V_A - V_D}{V_D}$ ; il s'exprime souvent en pourcentage. Les évolutions successives se calculent en multipliant les coefficients multiplicateurs.
Exemple
Un salaire augmente de 10 %, puis de 5 %. Le coefficient total est 1,10 × 1,05 = 1,155, soit une augmentation globale de 15,5 %.
À retenir : Pour des évolutions successives, on multiplie les coefficients multiplicateurs, pas les pourcentages.
Échelles et unités de mesure professionnelles
L'échelle est le rapport entre une distance sur un plan ou une maquette et la distance réelle correspondante, exprimées dans la même unité. Elle s'écrit sous forme de fraction, par exemple $\frac{1}{100}$. Dans les métiers, il faut aussi savoir convertir les unités : longueurs (mm, cm, m), aires (m²), volumes et contenances (m³, L).
Exemple
Un plan à l'échelle $\frac{1}{100}$ : 1 cm sur le plan représente 100 cm, soit 1 m, en réalité. Une longueur de 5 cm sur le plan correspond à 500 cm, soit 5 m. Côté unités : 1 m² = 10 000 cm² et 1 m³ = 1 000 L.
À retenir : Échelle = distance sur le plan / distance réelle. Les unités doivent être identiques avant de calculer.
Applications aux situations commerciales et techniques
Les proportionnalités et pourcentages s'appliquent concrètement en commerce (prix, remises, marges) et en technique (dosages, conversions, rendements).
Exemple
Un commerçant achète un produit 40 euros et le revend 60 euros. La marge est de 20 euros. Le taux de marge, calculé par rapport au prix d'achat, est $\frac{20}{40} \times 100 = 50$ %.
À retenir : En commerce et technique, vérifier toujours les unités et identifier clairement la valeur de référence pour calculer les pourcentages.
Les points clés
- La proportionnalité existe quand le rapport entre deux grandeurs reste constant
- Augmenter de $p$ % revient à multiplier par $\left(1 + \frac{p}{100}\right)$, diminuer de $p$ % revient à multiplier par $\left(1 - \frac{p}{100}\right)$
- Pour des évolutions successives, multiplier les coefficients multiplicateurs, jamais additionner les pourcentages
- L'échelle relie une distance sur un plan à la distance réelle, exprimées dans la même unité
- En situations professionnelles, toujours identifier la valeur de référence avant de calculer un pourcentage
L'essentiel
La proportionnalité est la base : deux grandeurs sont proportionnelles si leur rapport est constant, et cela s'applique partout en commerce et technique.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un restaurant propose une réduction de 15 % sur tous les plats le lundi. Un plat coûte normalement 24 euros. Quel est le prix réduit ? Ensuite, le restaurant augmente ce prix réduit de 10 % le mardi. Quel est le prix final ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un technicien travaille à partir de la maquette d'une charpente réalisée à l'échelle $\frac{1}{50}$. Sur la maquette, une poutre mesure 8 cm. Quelle est la longueur réelle de la poutre en mètres ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →