Déterminer une équation de droite en 2nde
Déterminer une équation de droite, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Géométrie », au programme de 2nde. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Déterminer une équation de droite : le cours
Trois cas. Deux points $A$ et $B$ (avec $x_A \neq x_B$) : on calcule la pente $m$, puis $p$ en écrivant que $A$ est sur la droite. Un point $A$ et une pente $m$ : on écrit $y = mx + p$ et on trouve $p$ avec les coordonnées de $A$. Un point $A$ et un vecteur directeur $\vec{u}(\alpha ; \beta)$ : $M(x ; y)$ est sur la droite si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires, c'est-à-dire si leur déterminant est nul : $(x - x_A)\beta - (y - y_A)\alpha = 0$.
Exemple
Droite passant par $A(1 ; 2)$ et $B(3 ; 8)$ : $m = 3$, et $2 = 3 \times 1 + p$ donne $p = -1$, donc $y = 3x - 1$ (vérification avec $B$ : $3 \times 3 - 1 = 8$). Droite passant par $A(2 ; -1)$ de vecteur directeur $\vec{u}(3 ; 1)$ : $(x - 2) \times 1 - (y + 1) \times 3 = 0$, soit $x - 3y - 5 = 0$ (vérification avec $A$ : $2 + 3 - 5 = 0$).
À retenir
Point + vecteur directeur : $\det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = 0$ ; deux points ou point + pente : on cherche $m$ puis $p$.
S'entraîner sur déterminer une équation de droite
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Dans un repère orthonormé, on donne $A(-2 ; 1)$, $B(4 ; 3)$ et $C(7 ; 4)$. 1) Calcule les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$. 2) Calcule la valeur exacte de la distance $AB$. 3) Détermine l'équation réduite de la droite $(AB)$. 4) Le point $C$ appartient-il à la droite $(AB)$ ? Confirme avec un déterminant.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Dans un repère orthonormé, $d$ est la droite d'équation $2x + y - 5 = 0$ et $d'$ est la droite passant par $E(0 ; -1)$ de vecteur directeur $\vec{u}(1 ; 3)$. 1) Donne un vecteur directeur de $d$. 2) Détermine une équation cartésienne de $d'$. 3) Les droites $d$ et $d'$ sont-elles parallèles ou sécantes ? 4) Si elles sont sécantes, calcule les coordonnées de leur point d'intersection.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Géométrie (Mathématiques 2nde).
Autres notions de ce chapitre
- Repère orthonormé et coordonnées d'un point
- Coordonnées du milieu d'un segment
- Distance entre deux points dans un repère orthonormé
- Vecteur directeur d'une droite
- Équation cartésienne d'une droite
- Équation réduite d'une droite et pente
- Droites parallèles ou sécantes ; point d'intersection
- Alignement de trois points et parallélisme de deux droites