Alignement de trois points et parallélisme de deux droites en 2nde
Alignement de trois points et parallélisme de deux droites, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Géométrie », au programme de 2nde. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Alignement de trois points et parallélisme de deux droites : le cours
Le déterminant des vecteurs $\vec{u}(x ; y)$ et $\vec{v}(x' ; y')$ est $\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y$ ; les deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si ce déterminant est nul. Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
Exemple
$A(1 ; 2)$, $B(3 ; 8)$, $C(4 ; 11)$ : $\overrightarrow{AB}(2 ; 6)$ et $\overrightarrow{AC}(3 ; 9)$, donc $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 2 \times 9 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0$ : les points $A$, $B$, $C$ sont alignés. (On le vérifie aussi avec l'équation $y = 3x - 1$ : $3 \times 4 - 1 = 11$.)
À retenir
$A$, $B$, $C$ alignés $\iff \det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0$ ; $(AB) \parallel (CD) \iff \det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 0$.
S'entraîner sur alignement de trois points et parallélisme de deux droites
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Dans un repère orthonormé, on donne $A(-2 ; 1)$, $B(4 ; 3)$ et $C(7 ; 4)$. 1) Calcule les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$. 2) Calcule la valeur exacte de la distance $AB$. 3) Détermine l'équation réduite de la droite $(AB)$. 4) Le point $C$ appartient-il à la droite $(AB)$ ? Confirme avec un déterminant.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Dans un repère orthonormé, $d$ est la droite d'équation $2x + y - 5 = 0$ et $d'$ est la droite passant par $E(0 ; -1)$ de vecteur directeur $\vec{u}(1 ; 3)$. 1) Donne un vecteur directeur de $d$. 2) Détermine une équation cartésienne de $d'$. 3) Les droites $d$ et $d'$ sont-elles parallèles ou sécantes ? 4) Si elles sont sécantes, calcule les coordonnées de leur point d'intersection.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Géométrie (Mathématiques 2nde).
Autres notions de ce chapitre
- Repère orthonormé et coordonnées d'un point
- Coordonnées du milieu d'un segment
- Distance entre deux points dans un repère orthonormé
- Vecteur directeur d'une droite
- Équation cartésienne d'une droite
- Équation réduite d'une droite et pente
- Déterminer une équation de droite
- Droites parallèles ou sécantes ; point d'intersection