Automatismes en 2nde
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de automatismes pour les élèves de 2nde. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Calcul numérique et algébrique : fractions, puissances, développer, factoriser
- Proportions et pourcentages
- Évolutions et variations : coefficient multiplicateur
- Fonctions et représentations : images, antécédents, équation de courbe
- Géométrie : Pythagore, Thalès, trigonométrie du triangle rectangle
- Statistiques : lire des graphiques, moyenne, médiane, quartiles
- Probabilités : événement contraire, équiprobabilité
Opérations avec les fractions
Les fractions permettent de représenter des parties d'un tout. Pour les additionner ou les soustraire, il faut un dénominateur commun ; pour les multiplier, on multiplie numérateurs et dénominateurs.
Exemple
Si tu coupes une pizza en 8 parts et tu en manges 3, il t'en reste 5/8. Si ton ami en mange 1/8, ensemble vous avez mangé 4/8 = 1/2 de la pizza.
À retenir : Pour additionner des fractions : trouver le dénominateur commun, puis ajouter les numérateurs.
Puissances et racines carrées
Une puissance est une multiplication répétée du même nombre. La racine carrée est l'opération réciproque du carré : pour un nombre a positif, √a est le nombre positif dont le carré est a.
Exemple
Quand tu calcules l'aire d'un carré de 5 cm de côté, tu fais $5^2 = 25$ cm². Inversement, si l'aire est 25 cm², le côté est $\sqrt{25} = 5$ cm.
À retenir : $a^n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$ : $a^n = a \times a \times \ldots \times a$ ; $\sqrt{a^2} = a$ (pour $a$ positif).
Développer une expression algébrique
Développer, c'est transformer un produit en somme. On distribue chaque terme du premier facteur à chaque terme du second.
Exemple
Si tu dois acheter 3 packs contenant chacun 2 bouteilles d'eau et 1 jus, tu calcules : $3 \times (2 + 1) = 3 \times 2 + 3 \times 1 = 6 + 3 = 9$ boissons.
À retenir : $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$ : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.
Factoriser une expression algébrique
Factoriser, c'est l'inverse de développer : transformer une somme en produit en cherchant un facteur commun.
Exemple
Si tu as 12 euros et ton ami aussi : $12 + 12 = 12 \times 1 + 12 \times 1 = 12 \times (1 + 1) = 12 \times 2 = 24$ euros (on met 12 en facteur). Avec des lettres : $3x + 3y = 3(x + y)$, et $5x + x^2 = x(5 + x)$.
À retenir : Chercher le facteur commun à tous les termes et le mettre en avant : $ac + bc = c(a + b)$.
Proportions et pourcentages
Une proportion compare deux quantités. Un pourcentage est une proportion sur 100. Calculer un pourcentage, c'est appliquer une fraction à une quantité.
Exemple
Si 15 élèves sur 30 portent des lunettes, la proportion est 15/30 = 1/2 = 50 %. C'est la moitié de la classe.
À retenir : Pourcentage = (partie / total) × 100 ; pour appliquer un pourcentage : multiplier par le nombre décimal correspondant.
Évolutions et coefficient multiplicateur
Une évolution est une augmentation ou une diminution. Le coefficient multiplicateur indique par quel nombre multiplier la valeur initiale pour obtenir la valeur finale.
Exemple
Un vêtement à 50 euros augmente de 20 %. Coefficient : 1 + 0,20 = 1,20, donc nouveau prix = $50 \times 1{,}20 = 60$ euros.
À retenir : Augmentation de $t\%$ : multiplier par $(1 + t/100)$ ; diminution de $t\%$ : multiplier par $(1 - t/100)$.
Fonctions et images, antécédents
Une fonction relie une entrée (antécédent) à une sortie (image). Si $f(x) = 2x + 1$, alors l'image de 3 est $f(3) = 7$.
Exemple
Sur une plateforme de streaming, tu entres un code (antécédent), et tu obtiens une série en retour (image). Chaque code donne toujours la même série.
À retenir : L'image est la valeur obtenue ; l'antécédent est la valeur d'entrée. On note $f(x) = y$ où $x$ est l'antécédent et $y$ l'image.
Équation d'une courbe et représentation
L'équation d'une courbe décrit la relation entre $x$ et $y$. La courbe est l'ensemble de tous les points $(x ; y)$ qui vérifient cette équation.
Exemple
L'équation $y = x^2$ trace une parabole : le point $(2 ; 4)$ est sur la courbe car $4 = 2^2$, mais $(2 ; 5)$ n'y est pas.
À retenir : Un point $(x ; y)$ est sur la courbe si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation.
Théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit) égale la somme des carrés des deux autres côtés.
Exemple
Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur vertical, son pied à 3 m du mur. Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle dont l'hypoténuse est l'échelle : la hauteur atteinte est $\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4$ m.
À retenir : $a^2 + b^2 = c^2$ où $c$ est l'hypoténuse.
Théorème de Thalès
Si deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles, alors les longueurs des segments sont proportionnelles.
Exemple
Tu veux mesurer la hauteur d'un arbre en utilisant son ombre. Si tu places un bâton à côté et que les ombres sont proportionnelles, tu peux calculer la hauteur.
À retenir : Si $M \in [AB]$, $N \in [AC]$ et $(MN)$ parallèle à $(BC)$, alors $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$.
Trigonométrie du triangle rectangle
La trigonométrie utilise les rapports entre les côtés du triangle pour trouver les angles et les longueurs. Les trois rapports principaux sont sinus, cosinus et tangente.
Exemple
Pour trouver l'angle que fait une rampe avec le sol : si elle monte de 1 m sur 5 m de longueur, $\sin(\text{angle}) = 1/5$.
À retenir : $\sin(\text{angle}) = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$ ; $\cos(\text{angle}) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ ; $\tan(\text{angle}) = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$.
Lire et interpréter des graphiques
Un graphique représente visuellement des données. On lit les coordonnées des points, les tendances et les valeurs extrêmes.
Exemple
Sur le graphique de ta consommation de data, tu vois que le lundi tu consommes 500 Mo et le dimanche 2 Go : tu peux identifier tes jours les plus actifs.
À retenir : Pour lire un graphique : repère les axes, lis les coordonnées des points, identifie les tendances.
Moyenne, médiane et quartiles
La moyenne est la somme des valeurs divisée par le nombre de valeurs. La médiane partage les données en deux parts égales. Les quartiles divisent en quatre parts.
Exemple
Notes de classe : 8, 10, 12, 14, 16. Moyenne = (8+10+12+14+16)/5 = 12. Médiane = 12 (valeur du milieu). Q1 = 10 et Q3 = 14.
À retenir : Moyenne = somme / nombre ; Médiane = valeur du milieu (après tri) ; Quartiles = valeurs à 25 %, 50 %, 75 %.
Événement contraire et probabilités
L'événement contraire d'un événement A est l'événement « non A ». La probabilité de l'événement contraire complète celle de A à 1.
Exemple
Probabilité de tirer une boule rouge = 0,6, alors probabilité de ne pas tirer rouge = 1 - 0,6 = 0,4.
À retenir : $P(\text{non A}) = 1 - P(A)$ : la somme des deux probabilités vaut toujours 1.
Équiprobabilité et cas favorables
L'équiprobabilité signifie que tous les résultats ont la même chance de se produire. La probabilité d'un événement est le nombre de cas favorables divisé par le nombre total de cas.
Exemple
En lançant un dé honnête, chaque face (1, 2, 3, 4, 5, 6) a une probabilité de 1/6. Probabilité d'obtenir un nombre pair = 3/6 = 1/2.
À retenir : $P(\text{événement}) = \frac{\text{cas favorables}}{\text{cas total}}$ (quand l'équiprobabilité existe).
Les points clés
- Fraction : trouver dénominateur commun avant addition/soustraction
- Puissance : $a^n = a \times a \times ... \times a$ ($n$ facteurs)
- Développer : distribuer chaque terme du premier facteur à tous les termes du second
- Factoriser : mettre en avant le facteur commun
- Pourcentage : (partie/total) × 100 ou appliquer le nombre décimal
- Coefficient multiplicateur : 1 + taux pour augmentation, 1 - taux pour diminution
- Image et antécédent : image est la sortie, antécédent est l'entrée
- Pythagore : $a^2 + b^2 = c^2$ dans un triangle rectangle
- Thalès : droites parallèles créent des segments proportionnels
- Trigonométrie : SOH-CAH-TOA (Sinus=Opposé/Hypoténuse, Cosinus=Adjacent/Hypoténuse, Tangente=Opposé/Adjacent)
- Moyenne : somme divisée par le nombre de valeurs
- Médiane : valeur centrale après tri des données
- Quartiles : Q1 (25 %), Q2/Médiane (50 %), Q3 (75 %)
- Événement contraire : $P(A) + P(\text{non A}) = 1$
- Équiprobabilité : tous les résultats ont la même chance
L'essentiel
Les automatismes en Seconde visent à maîtriser les calculs rapides et les concepts clés (fractions, puissances, développement, pourcentages, fonctions, géométrie, statistiques et probabilités) pour aborder les problèmes complexes sans être ralenti par les mécaniques de base.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un article coûte 80 euros. Son prix augmente de 15 %. Quel est le nouveau prix ? Calcule aussi le prix s'il baissait de 15 %.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une rampe d'accès mesure 5 mètres de long et s'élève de 0,75 mètre. Calcule l'angle d'inclinaison (arrondi au degré).
Corrige cet exercice avec le tuteur →