Suites numériques en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de suites numériques pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Suites arithmétiques : raison, terme général, somme
- Suites géométriques : raison, terme général, somme
- Sens de variation d'une suite
- Modélisation de situations par des suites
- Tableur et suites numériques
Suites arithmétiques et leur raison
Une suite arithmétique est une liste de nombres où on ajoute toujours la même valeur pour passer d'un terme au suivant. Cette valeur s'appelle la raison, notée r.
Exemple
Un abonnement à une salle de sport coûte 50 euros le premier mois, puis 50 euros chaque mois. Les montants forment une suite : 50, 100, 150, 200... avec une raison de 50.
À retenir : Dans une suite arithmétique, la différence entre deux termes consécutifs est toujours égale à la raison r.
Terme général d'une suite arithmétique
Le terme général permet de calculer n'importe quel terme de la suite sans calculer tous les précédents. Pour une suite arithmétique, on utilise une formule.
Exemple
Si tu veux connaître le prix après 12 mois pour l'abonnement (50 euros par mois), tu utilises la formule au lieu de compter mois par mois.
À retenir : Le terme général d'une suite arithmétique est $u_n = u_1 + (n-1) \times r$ ou $u_n = u_0 + n \times r$.
Somme des termes d'une suite arithmétique
La somme est le total obtenu en additionnant tous les termes d'une suite arithmétique, du premier au dernier.
Exemple
Calculer le coût total d'un abonnement sur 12 mois : au lieu d'additionner 12 nombres, on utilise une formule rapide.
À retenir : La somme des n premiers termes est $S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}$ ou $S_n = \frac{n(2u_1 + (n-1)r)}{2}$.
Suites géométriques et leur raison
Une suite géométrique est une liste de nombres où on multiplie toujours par la même valeur pour passer d'un terme au suivant. Cette valeur s'appelle la raison, notée q.
Exemple
Un virus se multiplie en doublant chaque jour : 1 virus, 2 virus, 4 virus, 8 virus... La raison est q = 2.
À retenir : Dans une suite géométrique, le quotient entre deux termes consécutifs est toujours égal à la raison q.
Terme général d'une suite géométrique
Le terme général d'une suite géométrique permet de calculer directement n'importe quel terme en utilisant une puissance.
Exemple
Pour savoir combien de virus après 10 jours (en doublant chaque jour), on calcule directement sans énumérer tous les jours.
À retenir : Le terme général d'une suite géométrique est $u_n = u_1 \times q^{n-1}$ ou $u_n = u_0 \times q^n$.
Somme des termes d'une suite géométrique
La somme est le total obtenu en additionnant tous les termes d'une suite géométrique. La formule dépend de la raison q.
Exemple
Calculer le nombre total de virus après 10 jours en additionnant tous les jours : 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 512.
À retenir : Si $q \neq 1$, la somme des n premiers termes est $S_n = u_1 \times \frac{1 - q^n}{1 - q}$.
Sens de variation d'une suite
Le sens de variation indique si une suite augmente (croissante), diminue (décroissante) ou reste constante. On l'étudie en comparant les termes consécutifs.
Exemple
Un compte bancaire avec intérêts augmente chaque année : c'est une suite croissante. Un ballon qui rebondit perd de la hauteur : c'est une suite décroissante.
À retenir : Pour une suite arithmétique : croissante si r > 0, décroissante si r < 0. Pour une suite géométrique : croissante si q > 1 (et u_1 > 0), décroissante si 0 < q < 1.
Modélisation de situations par des suites
Modéliser, c'est traduire une situation réelle en suite mathématique pour pouvoir la calculer et la prévoir.
Exemple
Un salaire qui augmente de 100 euros chaque année, une population qui double tous les 5 ans, un produit qui se déprécie de 10% annuellement.
À retenir : Avant de calculer, il faut identifier le type de suite (arithmétique ou géométrique) et déterminer le premier terme et la raison.
Tableur et suites numériques
Un tableur (Excel, Calc) permet de générer rapidement les termes d'une suite en utilisant des formules et de visualiser son comportement.
Exemple
Dans une colonne, écrire les premiers termes, puis utiliser une formule pour calculer automatiquement les 100 termes suivants sans les taper manuellement.
À retenir : On utilise les formules du tableur pour remplir rapidement une suite et créer des graphiques pour observer sa croissance ou décroissance.
Les points clés
- Une suite arithmétique a une raison constante (addition), une suite géométrique a une raison constante (multiplication)
- Les formules du terme général permettent de calculer n'importe quel terme sans calculer tous les précédents
- Le sens de variation dépend du signe de r (arithmétique) ou de la valeur de q (géométrique)
- Pour modéliser une situation, identifier d'abord le type de suite, puis le premier terme et la raison
- Le tableur automatise les calculs et permet de visualiser rapidement le comportement d'une suite
L'essentiel
Les suites arithmétiques et géométriques sont deux outils pour modéliser des situations réelles : utilise la formule du terme général pour calculer rapidement et la somme pour totaliser.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un youtubeur gagne 1000 abonnés le premier mois, puis 500 abonnés supplémentaires chaque mois. Combien d'abonnés aura-t-il après 12 mois ? Quel sera le nombre total d'abonnés gagnés sur ces 12 mois ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un téléphone perd 15% de sa valeur chaque année. S'il coûte 800 euros à l'achat, combien vaudra-t-il après 5 ans ? (Arrondir à l'euro)
Corrige cet exercice avec le tuteur →