Suites numériques en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de suites numériques pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
- Modes de génération d'une suite
- Suites arithmétiques
- Suites géométriques à termes strictement positifs
- Sens de variation selon la raison
- Croissance linéaire ou exponentielle : reconnaître le modèle
- Démontrer qu'une suite est arithmétique ou géométrique
- Modélisation de situations par des suites
- Tableur et Python : termes, somme, seuil
Ce que tu vas réviser
- Modes de génération d'une suite : expression u(n), relation de récurrence
- Représentation graphique : nuage de points (n, u(n))
- Suites arithmétiques : raison, relation de récurrence, terme de rang n
- Suites géométriques à termes strictement positifs : raison, relation de récurrence, terme de rang n
- Sens de variation d'une suite arithmétique ou géométrique selon la raison
- Croissance linéaire ou exponentielle : reconnaître le modèle
- Démontrer qu'une suite est arithmétique ou géométrique
- Modélisation de situations par des suites
- Tableur et Python : calculer des termes, une somme finie de termes, un rang de dépassement de seuil
Modes de génération d'une suite
Une suite numérique associe un nombre $u(n)$ (noté aussi $u_n$) à chaque entier naturel $n$. On peut la définir par une expression en fonction de $n$ (par exemple $u(n) = 3n + 2$), ou par une relation de récurrence qui donne un terme à partir du précédent, avec le premier terme (par exemple $u(0) = 5$ et $u(n+1) = 2u(n) - 1$).
Exemple
Avec $u(n) = 3n + 2$ : $u(10) = 32$ se calcule directement. Avec $u(0) = 5$ et $u(n+1) = 2u(n) - 1$ : $u(1) = 9$, $u(2) = 17$, $u(3) = 33$ ; il faut calculer les termes un par un.
À retenir : Expression en fonction de n : calcul direct d'un terme. Relation de récurrence : calcul de proche en proche à partir du premier terme.
Représentation graphique : nuage de points
On représente une suite par les points de coordonnées $(n \,; u(n))$. On ne relie pas les points : la suite n'est définie que pour des entiers.
Exemple
Pour $u(n) = 3n + 2$, les points $(0 \,; 2)$, $(1 \,; 5)$, $(2 \,; 8)$, $(3 \,; 11)$ sont alignés : c'est le signe d'une suite arithmétique.
À retenir : Points alignés : on conjecture une suite arithmétique. Points sur une courbe qui « s'envole » de plus en plus vite : on conjecture une suite géométrique de raison supérieure à 1.
Suites arithmétiques
Une suite est arithmétique si on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$, appelé raison : $u(n+1) = u(n) + r$. Elle modélise une évolution absolue constante.
Exemple
Un abonnement coûte 50 euros par mois. Le montant total payé après $n$ mois vérifie $u(n+1) = u(n) + 50$ avec $u(1) = 50$ : 50, 100, 150, 200... C'est une suite arithmétique de raison 50.
À retenir : Terme de rang $n$ : $u(n) = u(0) + n \times r$, ou $u(n) = u(1) + (n - 1) \times r$ si la suite commence au rang 1.
Suites géométriques à termes strictement positifs
Une suite est géométrique si on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$, appelé raison : $u(n+1) = q \times u(n)$. Avec un premier terme et une raison strictement positifs, tous les termes sont strictement positifs. Elle modélise une évolution relative constante (même pourcentage d'évolution à chaque étape).
Exemple
Une colonie de bactéries double chaque heure : 100, 200, 400, 800... C'est une suite géométrique de raison $q = 2$ et $u(n) = 100 \times 2^n$. Une baisse de 10 % par an correspond à une raison $q = 0{,}9$.
À retenir : Terme de rang $n$ : $u(n) = u(0) \times q^n$, ou $u(n) = u(1) \times q^{n-1}$ si la suite commence au rang 1. Une évolution de $t\,\%$ correspond à la raison $q = 1 + \frac{t}{100}$.
Sens de variation selon la raison
Une suite est croissante si chaque terme est supérieur ou égal au précédent, décroissante s'il est inférieur ou égal. Pour les suites arithmétiques et géométriques (à termes strictement positifs), il suffit de regarder la raison.
Exemple
$u(n) = 7 - 2n$ est arithmétique de raison $-2$ : décroissante. $v(n) = 3 \times 1{,}05^n$ est géométrique de raison $1{,}05 > 1$ et de termes positifs : croissante.
À retenir : Arithmétique : croissante si $r > 0$, décroissante si $r < 0$, constante si $r = 0$. Géométrique à termes strictement positifs : croissante si $q > 1$, décroissante si $0 < q < 1$, constante si $q = 1$.
Croissance linéaire ou exponentielle : reconnaître le modèle
Si la grandeur augmente (ou diminue) de la même quantité à chaque étape, le modèle est une suite arithmétique : croissance linéaire. Si elle augmente (ou diminue) du même pourcentage à chaque étape, le modèle est une suite géométrique : croissance exponentielle.
Exemple
« Le salaire augmente de 100 euros par an » : croissance linéaire. « La population augmente de 3 % par an » : croissance exponentielle. Sur une longue durée, une croissance exponentielle finit par dépasser une croissance linéaire.
À retenir : Même quantité ajoutée : suite arithmétique. Même coefficient multiplicateur : suite géométrique.
Démontrer qu'une suite est arithmétique ou géométrique
Pour démontrer qu'une suite est arithmétique, on calcule $u(n+1) - u(n)$ et on montre que le résultat ne dépend pas de $n$ : c'est la raison. Pour une suite géométrique à termes strictement positifs, on montre que $u(n+1) = q \times u(n)$, c'est-à-dire que $\frac{u(n+1)}{u(n)}$ est un nombre constant $q$.
Exemple
$u(n) = 4n + 1$ : $u(n+1) - u(n) = 4(n+1) + 1 - (4n + 1) = 4$, donc la suite est arithmétique de raison 4. $v(n) = 5 \times 3^n$ : $v(n+1) = 5 \times 3^{n+1} = 3 \times v(n)$, donc la suite est géométrique de raison 3.
À retenir : Vérifier sur les premiers termes ne suffit pas : le calcul doit être fait pour un n quelconque. En revanche, un seul contre-exemple suffit pour montrer qu'une suite n'est pas arithmétique (ou pas géométrique).
Modélisation de situations par des suites
Modéliser, c'est traduire une situation réelle par une suite pour pouvoir calculer et prévoir. On choisit ce que représente n, on identifie le premier terme et le mode d'évolution.
Exemple
Un capital de 2 000 euros placé à 3 % par an : u(0) = 2 000 et u(n+1) = 1,03 × u(n). Une salle de sport qui gagne 20 inscrits par mois à partir de 150 : u(0) = 150 et u(n+1) = u(n) + 20.
À retenir : Avant de calculer, préciser ce que représentent n et u(n), puis identifier le type de suite, le premier terme et la raison. Certaines situations ne relèvent d'aucun des deux modèles.
Tableur et Python : termes, somme, seuil
Un tableur ou un programme Python permet de calculer rapidement de nombreux termes, la somme d'un nombre fini de termes, ou le premier rang à partir duquel les termes dépassent un seuil.
Exemple
Au tableur : on écrit u(0) en B2, puis en B3 la formule =B2*1,03 (ou =B2+20) que l'on recopie vers le bas ; la fonction SOMME donne la somme des termes. En Python, pour trouver le premier rang où un capital de 2 000 euros placé à 3 % dépasse 3 000 euros : ```python n = 0 u = 2000 while u <= 3000: u = u * 1.03 n = n + 1 print(n) ``` Le programme affiche 14.
À retenir : Une boucle while répète le calcul tant que le seuil n'est pas atteint ; un accumulateur (s = s + u) permet de calculer une somme de termes.
Les points clés
- Une suite se définit par une expression en fonction de n ou par une relation de récurrence et un premier terme
- On représente une suite par un nuage de points (n ; u(n)), sans relier les points
- Suite arithmétique : on ajoute la raison r ; suite géométrique : on multiplie par la raison q
- Le sens de variation dépend du signe de r (arithmétique) ou de la position de q par rapport à 1 (géométrique à termes positifs)
- Évolution absolue constante : croissance linéaire ; évolution relative constante : croissance exponentielle
- Le tableur et Python calculent des termes, des sommes et des rangs de dépassement de seuil
L'essentiel
Les suites arithmétiques (on ajoute) et géométriques (on multiplie) modélisent des évolutions discrètes : on les reconnaît, on démontre leur nature, on calcule le terme de rang n et on utilise le tableur ou Python pour les sommes et les seuils.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Une youtubeuse a 1 000 abonnés au départ et gagne 500 abonnés chaque mois. On note u(n) le nombre d'abonnés après n mois, avec u(0) = 1 000. 1) Justifier que la suite (u(n)) est arithmétique et donner sa raison. 2) Exprimer u(n) en fonction de n et calculer u(12). 3) À partir de combien de mois aura-t-elle plus de 10 000 abonnés ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un téléphone perd 15 % de sa valeur chaque année. Il coûte 800 euros à l'achat. On note v(n) sa valeur après n années. 1) Justifier que la suite (v(n)) est géométrique et donner sa raison. Quel est son sens de variation ? 2) Combien vaudra-t-il après 5 ans ? (arrondir à l'euro) 3) À l'aide de la calculatrice ou d'un programme, déterminer au bout de combien d'années sa valeur devient inférieure à 200 euros.
Corrige cet exercice avec le tuteur →