Fonctions et dérivation en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de fonctions et dérivation pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Polynômes degré 2
- Dérivation
- Variations et optimisation
- Fonctions de référence (inverse, racine carrée)
Fonctions polynômes du second degré
Une fonction polynôme du second degré est une fonction de la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$ où $a \neq 0$. Sa courbe représentative est une parabole qui s'ouvre vers le haut si $a > 0$ ou vers le bas si $a < 0$.
Exemple
La trajectoire d'un ballon de basket lancé suit une parabole. Si on note $h(t) = -5t^2 + 10t + 2$ la hauteur en mètres à l'instant $t$ en secondes, c'est une fonction du second degré.
À retenir : La parabole a un axe de symétrie en $x = -\frac{b}{2a}$ et un sommet (minimum ou maximum) à ce point.
Dérivée et sens de variation
La dérivée d'une fonction mesure sa vitesse de variation à chaque point. Si la dérivée est positive, la fonction augmente ; si elle est négative, la fonction diminue. Le signe de la dérivée détermine le sens de variation.
Exemple
En voiture, la vitesse est la dérivée de la position. Si la vitesse est positive, vous avancez ; si elle est négative, vous reculez.
À retenir : Quand $f'(x) > 0$, la fonction $f$ est croissante ; quand $f'(x) < 0$, elle est décroissante.
Extremum d'une fonction sur intervalle
Un extremum est un maximum ou un minimum d'une fonction sur un intervalle donné. On le trouve en cherchant où la dérivée s'annule (points critiques) et en comparant les valeurs aux bornes de l'intervalle.
Exemple
Un entrepreneur veut maximiser son profit. Le profit maximum se trouve souvent à un point où la dérivée du profit vaut zéro, c'est-à-dire où augmenter la production ne rapporte plus.
À retenir : Les extrema se trouvent où $f'(x) = 0$ ou aux extrémités de l'intervalle d'étude.
Fonction inverse et ses propriétés
La fonction inverse est $f(x) = \frac{1}{x}$ définie pour $x \neq 0$. Sa courbe est une hyperbole avec deux branches symétriques par rapport à l'origine.
Exemple
Si vous partagez un gâteau entre $x$ personnes, chacun reçoit $\frac{1}{x}$ du gâteau. Plus il y a de personnes, moins chacun en reçoit.
À retenir : La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty, 0[$ et sur $]0, +\infty[$, avec une dérivée $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ toujours négative.
Fonction racine carrée et variations
La fonction racine carrée est $f(x) = \sqrt{x}$ définie pour $x \geq 0$. Sa courbe est une demi-parabole couchée qui augmente de plus en plus lentement.
Exemple
L'aire d'un carré est $A = c^2$. Si on connaît l'aire, le côté est $c = \sqrt{A}$. Plus le carré est grand, moins l'augmentation du côté est importante pour une même augmentation d'aire.
À retenir : La fonction racine carrée est croissante sur $[0, +\infty[$ avec une dérivée $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ qui diminue.
Les points clés
- La dérivée indique le sens de variation : positive = croissante, négative = décroissante
- Les extrema se trouvent où la dérivée s'annule ou aux bornes de l'intervalle
- Une parabole $ax^2 + bx + c$ a son sommet en $x = -\frac{b}{2a}$
- La fonction inverse $\frac{1}{x}$ et la racine carrée $\sqrt{x}$ sont des fonctions de référence à bien connaître
- Toujours vérifier le domaine de définition avant d'étudier une fonction
L'essentiel
La dérivée est l'outil principal pour étudier les variations d'une fonction et trouver ses extrema.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$ définie sur $[0, 5]$. Calculez la dérivée, trouvez les points critiques, puis déterminez le minimum et le maximum de $f$ sur cet intervalle.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Comparez les variations de $g(x) = \frac{1}{x}$ et $h(x) = \sqrt{x}$ sur l'intervalle $]0, +\infty[$. Laquelle augmente le plus vite près de $x = 1$ ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →