Suites numériques en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de suites numériques pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Suites arithmétiques et géométriques
- Modélisation discrète
- Somme des termes d'une suite
- Sens de variation
Suites arithmétiques et géométriques
Une suite arithmétique augmente ou diminue toujours du même montant entre deux termes consécutifs (appelé raison). Une suite géométrique multiplie toujours par le même nombre entre deux termes consécutifs.
Exemple
Arithmétique : ton salaire augmente de 50€ chaque mois. Géométrique : une bactérie se divise en deux toutes les heures (multiplication par 2).
À retenir : Pour une suite arithmétique : $u_n = u_0 + n \times r$ ; pour une suite géométrique : $u_n = u_0 \times q^n$
Sens de variation et convergence
Le sens de variation indique si une suite augmente, diminue ou stagne. La convergence signifie que les termes se rapprochent d'une valeur limite quand n devient très grand.
Exemple
Une suite arithmétique avec raison positive augmente toujours. Une suite géométrique avec raison entre 0 et 1 converge vers 0 (comme un ballon qui rebondit de moins en moins haut).
À retenir : Une suite arithmétique est monotone (toujours croissante ou décroissante) ; une suite géométrique converge vers 0 si $|q| < 1$
Modélisation par les suites
Les suites permettent de modéliser des phénomènes qui évoluent régulièrement : croissance d'une population, placement d'argent à intérêts, ou consommation d'une ressource.
Exemple
Une population de lapins double chaque année (suite géométrique). Un compte épargne gagne 2% d'intérêts chaque mois (suite géométrique avec $q = 1,02$).
À retenir : Identifier si le phénomène augmente d'un montant fixe (arithmétique) ou se multiplie par un facteur fixe (géométrique)
Somme des termes d'une suite
La somme des termes est le total obtenu en additionnant tous les termes d'une suite du premier jusqu'au n-ième. Il existe des formules pour calculer rapidement sans tout additionner.
Exemple
Calculer le total d'argent économisé en 12 mois si tu mets 50€ de côté chaque mois, ou le total de tes gains si tu joues à un jeu où tu gagnes le double chaque jour.
À retenir : Arithmétique : $S_n = \frac{n(u_0 + u_n)}{2}$ ; Géométrique : $S_n = u_0 \times \frac{1 - q^n}{1 - q}$ (si $q \neq 1$)
Les points clés
- Une suite arithmétique a une raison constante (addition) ; une suite géométrique a une raison constante (multiplication)
- Pour modéliser un problème, il faut d'abord reconnaître le type de suite et identifier la raison
- Les formules de somme permettent de calculer rapidement sans additionner tous les termes un par un
- Une suite géométrique avec $|q| < 1$ converge toujours vers 0
- Le premier terme $u_0$ et la raison $r$ ou $q$ définissent complètement une suite
L'essentiel
Les suites arithmétiques et géométriques sont les deux modèles de base pour décrire une évolution régulière ; maîtriser leurs formules et savoir les reconnaître est essentiel.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un investisseur place 5000 euros à intérêts composés avec un taux annuel de 4%. 1) Exprimer le capital $C_n$ après $n$ années sous forme d'une suite. 2) Quel sera le capital après 10 ans ? 3) Calculer la somme totale des intérêts gagnés sur ces 10 années. 4) En combien d'années le capital initial aura-t-il doublé ? (On arrondira à l'année supérieure)
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $r = 3$. 1) Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$. 2) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. 3) Calculer $u_{10}$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →