Géométrie dans le plan en 6ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de géométrie dans le plan pour les élèves de 6ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
- Points, droites, segments, demi-droites
- Distance entre deux points ; milieu d'un segment
- Cercle et disque : centre, rayon, diamètre, corde
- Médiatrice d'un segment
- Triangles particuliers : construction et angles
- Somme des angles d'un triangle ; cercle circonscrit
- Figures usuelles : carré, rectangle, losange
- Périmètre d'un polygone et d'un disque
- Aire du carré et du rectangle ; unités d'aire
Ce que tu vas réviser
- Points, droites, segments, demi-droites : vocabulaire et notations
- Distance entre deux points ; milieu d'un segment
- Cercle et disque : centre, rayon, diamètre, corde
- Médiatrice d'un segment : définition et propriété caractéristique
- Triangles particuliers (rectangle, isocèle, équilatéral) : construction et propriétés angulaires
- Somme des angles d'un triangle ; cercle circonscrit
- Figures usuelles : carré, rectangle, losange
- Périmètre d'un polygone et périmètre d'un disque
- Aire du carré et du rectangle ; conversions d'unités d'aire
Points, droites, segments, demi-droites
Un point est une position précise, marquée par une croix et nommé par une lettre majuscule. Par deux points distincts A et B passe une seule droite, notée $(AB)$ : elle est illimitée des deux côtés. Le segment $[AB]$ est la partie de la droite comprise entre A et B : A et B sont ses extrémités. La demi-droite $[AB)$ a pour origine A, passe par B et est illimitée du côté de B. On écrit $M \in (AB)$ pour dire que le point M appartient à la droite $(AB)$.
Exemple
Sur une figure, trois points A, B, C sont alignés quand ils sont sur une même droite. Le rayon lumineux d'une lampe torche, qui part de la lampe et continue tout droit, fait penser à une demi-droite ; le bord d'une règle, entre deux graduations, à un segment.
À retenir : $(AB)$ : droite, sans fin des deux côtés. $[AB]$ : segment, avec deux extrémités. $[AB)$ : demi-droite, avec une origine A.
Distance entre deux points ; milieu d'un segment
La distance entre les points A et B est la longueur du segment $[AB]$ ; on la note AB (sans crochets). Le milieu d'un segment $[AB]$ est le point I du segment situé à la même distance de A et de B : $IA = IB = \frac{AB}{2}$.
Exemple
Si $AB = 7$ cm, le milieu I de $[AB]$ est sur le segment, à $7 \div 2 = 3{,}5$ cm de A et à 3,5 cm de B. On peut le placer avec la règle graduée.
À retenir : AB désigne une longueur ; $[AB]$ désigne le segment. Le milieu I appartient au segment et vérifie $IA = IB$.
Cercle et disque : centre, rayon, diamètre, corde
Le cercle de centre O et de rayon 3 cm est formé de tous les points situés à 3 cm de O. Le disque de centre O et de rayon 3 cm est formé des points situés à 3 cm ou moins de O : c'est le cercle et son intérieur. Un rayon est un segment qui joint le centre à un point du cercle. Une corde est un segment qui joint deux points du cercle. Un diamètre est une corde qui passe par le centre.
Exemple
Un cercle de rayon 4 cm a des diamètres de longueur $2 \times 4 = 8$ cm. Une corde qui ne passe pas par le centre est plus courte qu'un diamètre.
À retenir : Longueur d'un diamètre = 2 × longueur d'un rayon. Tous les points du cercle sont à la même distance du centre.
Médiatrice d'un segment
La médiatrice d'un segment $[AB]$ est la droite perpendiculaire à $[AB]$ qui passe par son milieu. Propriété caractéristique : un point est sur la médiatrice de $[AB]$ lorsqu'il est à la même distance de A et de B ; et inversement, si un point est à la même distance de A et de B, alors il est sur la médiatrice de $[AB]$.
Exemple
Pour tracer la médiatrice au compas : on trace deux arcs de même rayon (plus grand que la moitié de AB), de centres A et B, de part et d'autre du segment. Les deux points d'intersection des arcs sont à égale distance de A et de B : la droite qui les joint est la médiatrice.
À retenir : Médiatrice de $[AB]$ = droite perpendiculaire à $[AB]$ en son milieu = ensemble des points équidistants de A et de B.
Triangles particuliers : construction et angles
Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur ; ses deux angles à la base sont égaux. Un triangle équilatéral a trois côtés de même longueur ; ses trois angles mesurent 60°. Un triangle rectangle a un angle droit ; ses deux autres angles sont aigus et leur somme vaut 90°.
Exemple
Construction d'un triangle équilatéral ABC de côté 5 cm : on trace $[AB]$ de 5 cm, puis deux arcs de cercle de rayon 5 cm, l'un de centre A, l'autre de centre B ; leur point d'intersection est C. Construction d'un triangle ABC rectangle en A : on trace $[AB]$, puis, avec l'équerre, la perpendiculaire à $(AB)$ passant par A, sur laquelle on place C.
À retenir : Isocèle : deux angles égaux. Équilatéral : trois angles de 60°. Rectangle : un angle droit, les deux autres angles ont pour somme 90°.
Somme des angles d'un triangle ; cercle circonscrit
Dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180°. Les trois médiatrices des côtés d'un triangle se coupent en un même point O. Ce point est à la même distance des trois sommets : le cercle de centre O qui passe par les trois sommets s'appelle le cercle circonscrit au triangle.
Exemple
Dans un triangle ABC, si $\widehat{A} = 50°$ et $\widehat{B} = 70°$, alors $\widehat{C} = 180° - 50° - 70° = 60°$. Pour tracer le cercle circonscrit, il suffit de tracer deux médiatrices : leur point d'intersection est le centre O, et le rayon est OA.
À retenir : $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$. Le centre du cercle circonscrit est le point de rencontre des médiatrices.
Figures usuelles : carré, rectangle, losange
Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits ; ses côtés opposés ont la même longueur. Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur. Un carré a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur : c'est à la fois un rectangle et un losange.
Exemple
Une feuille A4 a la forme d'un rectangle de 21 cm sur 29,7 cm. Un carreau de carrelage est souvent un carré. Certains panneaux de signalisation ont la forme d'un losange.
À retenir : Rectangle : 4 angles droits. Losange : 4 côtés égaux. Carré : 4 angles droits et 4 côtés égaux.
Périmètre d'un polygone et d'un disque
Le périmètre d'une figure est la longueur de son contour. Pour un polygone, on additionne les longueurs de tous ses côtés. Le périmètre d'un disque est la longueur du cercle qui le borde : il est égal à $\pi \times$ diamètre, soit $2 \times \pi \times$ rayon. Le nombre $\pi$ vaut environ 3,14.
Exemple
Un triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm a pour périmètre $3 + 4 + 5 = 12$ cm. Un disque de rayon 5 cm a pour périmètre $2 \times \pi \times 5 = 10\pi \approx 31{,}4$ cm.
À retenir : Polygone : périmètre = somme des longueurs des côtés. Disque : périmètre $= \pi \times d = 2 \times \pi \times r$.
Aire du carré et du rectangle ; unités d'aire
L'aire d'une figure mesure la surface qu'elle occupe. Aire d'un rectangle = longueur × largeur (dans la même unité). Aire d'un carré = côté × côté. L'unité d'aire est le carré de l'unité de longueur : 1 cm² est l'aire d'un carré de 1 cm de côté. Pour convertir, on retient qu'un carré de 1 m de côté mesure aussi 10 dm de côté : $1 \text{ m}^2 = 10 \times 10 = 100 \text{ dm}^2$. De même, $1 \text{ dm}^2 = 100 \text{ cm}^2$ et $1 \text{ cm}^2 = 100 \text{ mm}^2$.
Exemple
Un rectangle de 6 cm sur 4 cm a une aire de $6 \times 4 = 24 \text{ cm}^2$, soit $24 \times 100 = 2\,400 \text{ mm}^2$. Une pièce de 3 m sur 5 m a une aire de $15 \text{ m}^2 = 1\,500 \text{ dm}^2$.
À retenir : Aire du rectangle = L × l ; aire du carré = c × c. Entre deux unités d'aire voisines, on multiplie ou on divise par 100.
Les points clés
- $(AB)$ est une droite, $[AB]$ un segment, $[AB)$ une demi-droite ; AB est la distance entre A et B
- Le milieu I de $[AB]$ vérifie $IA = IB$ ; la médiatrice de $[AB]$ est la perpendiculaire à $[AB]$ en son milieu, formée des points équidistants de A et de B
- Diamètre = 2 × rayon ; une corde joint deux points du cercle
- La somme des angles d'un triangle vaut 180° ; un triangle équilatéral a trois angles de 60°, un triangle isocèle deux angles égaux
- Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point de rencontre des médiatrices de ses côtés
- Périmètre d'un disque $= \pi \times d = 2 \times \pi \times r$
- Aire du rectangle = longueur × largeur ; entre deux unités d'aire voisines, le rapport est 100
L'essentiel
En 6e, on apprend à nommer et construire les figures de base (segments, cercles, médiatrices, triangles, quadrilatères), à utiliser la somme des angles d'un triangle, et à calculer des périmètres et des aires en faisant attention aux unités.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
a) Le triangle ABC est isocèle en A et $\widehat{BAC} = 40°$. Calcule les mesures des angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$. b) Le triangle DEF est rectangle en D et $\widehat{DEF} = 35°$. Calcule $\widehat{DFE}$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un jardin rectangulaire mesure 8 m sur 5 m. Au centre, on installe un bassin circulaire de 2 m de diamètre. a) Calcule le périmètre du jardin. b) Calcule l'aire du jardin en m², puis en dm². c) Calcule la longueur du bord du bassin, arrondie au centimètre (prends $\pi \approx 3{,}14$).
Corrige cet exercice avec le tuteur →