Proportionnalité en 6ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de proportionnalité pour les élèves de 6ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Définition de la proportionnalité entre deux grandeurs (« prix au kilo »)
- Reconnaître si une situation relève du modèle de la proportionnalité
- Propriétés de linéarité pour la multiplication et pour l'addition
- Retour à l'unité
- Représenter une situation de proportionnalité : tableau (grandeurs et unités), flèches, notations symboliques
- Initiation aux problèmes d'échelles
- Appliquer un pourcentage à une grandeur
Deux grandeurs proportionnelles
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on obtient toujours les valeurs de l'une en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre. C'est le cas du prix payé et de la masse achetée quand le « prix au kilo » ne change pas : on paie le prix d'un kilo autant de fois qu'on achète de kilos.
Exemple
Les pommes sont vendues 2 euros le kilo. 1 kg coûte 2 euros, 3 kg coûtent $3 \times 2 = 6$ euros, 5 kg coûtent $5 \times 2 = 10$ euros. On multiplie toujours la masse (en kg) par 2 pour obtenir le prix (en euros).
À retenir : Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on passe toujours de l'une à l'autre en multipliant par le même nombre (ici, le prix au kilo).
Reconnaître une situation de proportionnalité
Avant de calculer, il faut se demander si la situation relève vraiment de la proportionnalité. On vérifie que, lorsqu'une grandeur est multipliée par un nombre, l'autre est multipliée par le même nombre. Si ce n'est pas le cas pour un seul exemple, la situation n'est pas une situation de proportionnalité.
Exemple
Proportionnelle : le prix de l'essence et le nombre de litres achetés (le prix du litre est fixe). Non proportionnelle : la taille d'un enfant et son âge ; à 2 ans, un enfant mesure environ 85 cm, mais à 4 ans il ne mesure pas 170 cm. Non proportionnelle non plus : une livraison à 5 euros ajoutée à des cahiers à 2 euros ; 1 cahier coûte 7 euros au total, 2 cahiers coûtent 9 euros et non 14 euros.
À retenir : Pour prouver qu'une situation n'est pas proportionnelle, un seul contre-exemple suffit : doubler une grandeur ne double pas l'autre.
Propriétés de linéarité
Dans une situation de proportionnalité, on peut calculer sans connaître le prix de l'unité, grâce à deux propriétés. Linéarité pour la multiplication : si on multiplie une quantité par un nombre, le prix est multiplié par le même nombre. Linéarité pour l'addition : le prix de la somme de deux quantités est la somme de leurs prix.
Exemple
3 croissants coûtent 3,60 euros. Multiplication : 6 croissants, c'est 2 fois plus, donc $2 \times 3{,}60 = 7{,}20$ euros. Addition : 9 croissants, c'est 6 croissants + 3 croissants, donc $7{,}20 + 3{,}60 = 10{,}80$ euros.
À retenir : Multiplier une grandeur par un nombre multiplie l'autre par ce même nombre ; additionner deux quantités revient à additionner les valeurs correspondantes.
Retour à l'unité
Le retour à l'unité consiste à chercher d'abord la valeur qui correspond à 1 (le prix d'un objet, d'un kilo, d'un litre), par une division, puis à multiplier pour obtenir la quantité voulue.
Exemple
4 cahiers coûtent 6 euros. Pour 1 cahier : $6 \div 4 = 1{,}50$ euro. Pour 7 cahiers : $7 \times 1{,}50 = 10{,}50$ euros.
À retenir : Retour à l'unité : je divise pour trouver la valeur pour 1, puis je multiplie par la quantité demandée.
Représenter une situation de proportionnalité
On peut organiser les données dans un tableau à deux lignes : chaque ligne porte le nom de la grandeur et son unité. On peut aussi écrire des flèches entre les colonnes (« × 2 », « + ») pour montrer le calcul effectué, ou une notation symbolique comme « 3 kg → 6 € » qui se lit « 3 kg correspondent à 6 euros ».
Exemple
Tableau pour les pommes à 2 euros le kilo : | Masse (kg) | 1 | 3 | 5 | |---|---|---|---| | Prix (€) | 2 | 6 | 10 | Une flèche « × 2 » de la ligne des masses vers la ligne des prix rappelle qu'on multiplie toujours par 2. En notation symbolique : 3 kg → 6 € et 5 kg → 10 €.
À retenir : Dans un tableau, indique toujours la grandeur et son unité en début de ligne ; les flèches servent à expliquer tes calculs.
Initiation aux problèmes d'échelle
Sur un plan ou une carte, les longueurs dessinées sont proportionnelles aux longueurs réelles. L'échelle indique le lien entre les deux, dans la même unité : une échelle de 1/100 signifie que 1 cm sur le plan représente 100 cm dans la réalité.
Exemple
Sur le plan d'une maison à l'échelle 1/100, une pièce mesure 4 cm de long. Dans la réalité, elle mesure $4 \times 100 = 400$ cm, soit 4 m.
À retenir : Avec une échelle, longueurs sur le plan et longueurs réelles sont proportionnelles ; les deux longueurs doivent être exprimées dans la même unité avant de convertir.
Appliquer un pourcentage à une grandeur
Prendre un pourcentage d'une grandeur est une situation de proportionnalité : 20 % signifie « 20 pour 100 ». Pour calculer 20 % d'une quantité, on multiplie cette quantité par 20, puis on divise par 100.
Exemple
Un jean coûte 40 euros et bénéficie d'une remise de 20 %. La remise vaut $40 \times 20 \div 100 = 8$ euros, et le jean coûte alors $40 - 8 = 32$ euros. Autre exemple : 50 % d'une quantité, c'est sa moitié ; 25 %, c'est son quart.
À retenir : $p$ % d'une quantité = quantité $\times\, p \div 100$.
Les points clés
- Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre (par exemple le prix au kilo)
- Un seul contre-exemple suffit pour montrer qu'une situation n'est pas proportionnelle
- Linéarité : multiplier une quantité par un nombre multiplie l'autre par ce nombre ; additionner deux quantités additionne les valeurs correspondantes
- Le retour à l'unité : diviser pour trouver la valeur pour 1, puis multiplier
- Un tableau (avec grandeurs et unités), des flèches ou une notation comme « 3 kg → 6 € » représentent la situation
- Sur un plan ou une carte à l'échelle, les longueurs sont proportionnelles aux longueurs réelles
- p % d'une quantité s'obtient en multipliant la quantité par p puis en divisant par 100
L'essentiel
La proportionnalité est partout : dans les achats, sur les cartes, dans les pourcentages. Avant de calculer, vérifie que la situation est bien proportionnelle, puis utilise la linéarité ou le retour à l'unité.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
4 cahiers identiques coûtent 6 euros. a) Combien coûtent 12 cahiers ? b) Combien coûte 1 cahier ? c) Combien coûtent 7 cahiers ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
a) Sur une carte à l'échelle 1/50 000, deux villages sont séparés de 8 cm. Quelle est la distance réelle en km ? b) Un vélo coûte 240 euros. Le magasin fait une remise de 25 %. Calcule le montant de la remise, puis le nouveau prix.
Corrige cet exercice avec le tuteur →