Triangles en 5ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de triangles pour les élèves de 5ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Somme des angles d'un triangle (la connaître et la démontrer)
- Construire des triangles à partir de données partielles
- Médiatrices et cercle circonscrit (triangles particuliers)
- Aire d'un triangle
- Hauteurs d'un triangle (tracé, concourantes)
- Médianes d'un triangle (une médiane partage le triangle en deux triangles d'aires égales)
Somme des angles d'un triangle
Dans n'importe quel triangle, si tu ajoutes les trois angles, tu obtiens toujours le même résultat. C'est une règle qui marche pour tous les triangles, sans exception.
Exemple
Imagine un panneau routier triangulaire (sens obligatoire). Même s'il est penché ou déformé, la somme de ses trois coins vaut toujours pareil.
À retenir : La somme des trois angles d'un triangle est toujours égale à 180°.
Démonstration de la somme des angles
Pour prouver que la somme vaut 180°, on utilise une droite parallèle à un côté du triangle. Les angles alternes-internes nous montrent pourquoi ça marche.
Exemple
Trace une ligne parallèle à la base d'un triangle (comme un rail de train). Tu verras que les angles se correspondent exactement, ce qui prouve notre règle.
À retenir : On démontre cette règle avec une parallèle et les angles alternes-internes.
Construire un triangle avec des données
À partir d'informations partielles (deux côtés et l'angle entre eux, ou trois côtés, ou deux angles et un côté), on peut tracer le triangle exact en utilisant la règle et le compas.
Exemple
Pour construire un cerf-volant en papier, tu connais la longueur des baguettes et l'angle entre elles. Tu peux donc tracer exactement la forme.
À retenir : On construit un triangle avec la règle et le compas en utilisant les données fournies.
Médiatrices et cercle circonscrit
La médiatrice d'un côté est la ligne qui le coupe en deux parts égales, perpendiculairement. Les trois médiatrices se croisent en un point, le centre du cercle qui passe par les trois sommets.
Exemple
Quand tu veux placer un arroseur au centre d'un terrain triangulaire pour arroser les trois coins de manière égale, tu trouves le centre du cercle circonscrit.
À retenir : Les trois médiatrices d'un triangle se croisent au centre du cercle circonscrit.
Aire d'un triangle
L'aire mesure la surface intérieure du triangle. On la calcule en prenant la base, la hauteur, puis on multiplie et on divise par 2.
Exemple
Pour peindre une voile triangulaire de bateau, tu dois connaître sa surface. Si la voile mesure 6 m de large et 4 m de haut, son aire est facile à calculer.
À retenir : L'aire d'un triangle = $\frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$
Hauteurs d'un triangle et concours
Une hauteur est une ligne qui part d'un sommet et tombe perpendiculairement sur le côté opposé (ou sa prolongation). Les trois hauteurs se croisent toujours en un même point appelé orthocentre.
Exemple
Imagine un triangle formé par trois cordes. Si tu lâches des plombs de chaque sommet vers le sol, ils se croisent tous au même endroit : l'orthocentre.
À retenir : Les trois hauteurs d'un triangle se croisent en un point appelé orthocentre.
Médianes et partage d'aire
Une médiane relie un sommet au milieu du côté opposé. Une médiane partage le triangle en deux triangles de surfaces égales. Les trois médianes se croisent au centre de gravité.
Exemple
Si tu coupes un gâteau triangulaire avec une ligne du sommet au milieu du côté opposé, tu obtiens deux parts de même taille.
À retenir : Une médiane partage un triangle en deux triangles d'aires égales.
Les points clés
- La somme des angles d'un triangle est toujours 180°
- On construit un triangle avec la règle, l'équerre et le compas selon les données
- Le cercle circonscrit passe par les trois sommets et son centre est à l'intersection des médiatrices
- Aire d'un triangle = (base × hauteur) / 2
- Les trois hauteurs se croisent à l'orthocentre
- Les trois médianes se croisent au centre de gravité et chacune partage le triangle en deux aires égales
L'essentiel
La somme des trois angles d'un triangle vaut toujours 180°, et on peut tracer n'importe quel triangle si on connaît suffisamment d'informations.