Triangles en 5ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de triangles pour les élèves de 5ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Somme des angles d'un triangle (la connaître et la démontrer)
- Construire des triangles à partir de données partielles
- Médiatrices et cercle circonscrit (triangles particuliers)
- Aire d'un triangle
- Hauteurs d'un triangle (tracé, concourantes)
- Médianes d'un triangle (une médiane partage le triangle en deux triangles d'aires égales)
Somme des angles d'un triangle
Dans n'importe quel triangle, si tu additionnes les trois angles, tu obtiens toujours 180 degrés. C'est vrai pour tous les triangles, sans exception.
Exemple
Imagine un triangle dessiné sur une voile de bateau. Même si la voile change de forme, la somme de ses trois angles vaudra toujours 180 degrés.
À retenir : Angle 1 + Angle 2 + Angle 3 = 180°, toujours.
Démontrer que la somme des angles vaut 180°
Soit un triangle ABC. On trace la droite (d) parallèle à (BC) passant par A, et on place sur (d) deux points D et E de part et d'autre de A, D du côté de B et E du côté de C. - Les droites (d) et (BC) sont parallèles et coupées par la sécante (AB) : les angles alternes-internes $\widehat{DAB}$ et $\widehat{ABC}$ sont donc égaux. - De même, avec la sécante (AC) : $\widehat{EAC} = \widehat{ACB}$. - Les angles $\widehat{DAB}$, $\widehat{BAC}$ et $\widehat{EAC}$ sont côte à côte et forment l'angle plat $\widehat{DAE}$, qui mesure 180°. Donc $\widehat{ABC} + \widehat{BAC} + \widehat{ACB} = 180°$.
Exemple
Dans un triangle ABC avec $\widehat{ABC} = 50°$ et $\widehat{ACB} = 60°$ : la parallèle à (BC) passant par A donne $\widehat{DAB} = 50°$ et $\widehat{EAC} = 60°$, donc $\widehat{BAC} = 180° - 50° - 60° = 70°$.
À retenir : La démonstration utilise la parallèle au côté opposé passant par un sommet, l'égalité des angles alternes-internes formés par deux droites parallèles, et l'angle plat de 180°.
Construire des triangles avec données
Pour construire un triangle, tu as besoin d'informations suffisantes : soit les trois côtés, soit deux côtés et l'angle entre eux, soit un côté et les deux angles aux extrémités.
Exemple
Pour construire une cabane triangulaire, tu dois connaître la longueur des trois poutres, ou au moins deux longueurs et l'angle entre elles.
À retenir : Trois côtés, ou deux côtés et l'angle entre eux, ou un côté et les deux angles à ses extrémités permettent de construire un triangle unique (si la plus grande longueur est inférieure à la somme des deux autres ; si les deux angles font moins de 180° au total). Par exemple, 2 cm, 3 cm et 10 cm ne forment pas de triangle. Trois angles ne suffisent pas : ils ne fixent pas la taille.
Médiatrices et cercle circonscrit
La médiatrice d'un côté est la droite qui le coupe en deux parts égales, perpendiculairement. Les trois médiatrices d'un triangle se croisent en un point, qui est le centre d'un cercle passant par les trois sommets : le cercle circonscrit.
Exemple
Pour placer une fontaine à égale distance de trois maisons, on trace les médiatrices du triangle formé par les maisons : la fontaine se place à leur point d'intersection.
À retenir : Les trois médiatrices se croisent au centre du cercle qui passe par les trois sommets.
Aire d'un triangle
L'aire d'un triangle mesure sa surface. Pour la calculer, tu multiplies la base par la hauteur (la distance perpendiculaire de la base au sommet opposé), puis tu divises par 2.
Exemple
Un fabricant de voiles de bateau découpe une voile triangulaire. Pour savoir quelle quantité de tissu il lui faut, il calcule l'aire du triangle.
À retenir : $Aire = \frac{base \times hauteur}{2}$
Hauteurs d'un triangle
Une hauteur est une droite qui part d'un sommet et arrive perpendiculairement sur le côté opposé (ou sa prolongation). Tout triangle a trois hauteurs, et elles se croisent toujours en un même point appelé orthocentre.
Exemple
Pour tracer la hauteur issue d'un sommet, on trace la perpendiculaire au côté opposé passant par ce sommet, avec l'équerre. Elle n'est verticale sur ta feuille que si ce côté est horizontal.
À retenir : Les trois hauteurs se croisent en un point unique appelé l'orthocentre.
Médianes d'un triangle
Une médiane relie un sommet au milieu du côté opposé. Tout triangle a trois médianes qui se croisent en un point. Une médiane partage le triangle en deux triangles de surface égale.
Exemple
Pour partager équitablement un gâteau triangulaire entre deux personnes, trace une médiane : tu obtiendras deux parts exactement de même taille.
À retenir : Une médiane divise toujours un triangle en deux triangles d'aires égales.
Les points clés
- La somme des trois angles d'un triangle est toujours 180°
- Pour construire un triangle, trois côtés (la plus grande longueur doit être inférieure à la somme des deux autres), deux côtés et l'angle compris entre eux, ou un côté et les deux angles adjacents (de somme inférieure à 180°) suffisent (trois angles ne suffisent pas)
- Les trois médiatrices se croisent au centre du cercle circonscrit
- L'aire d'un triangle = (base × hauteur) ÷ 2
- Les trois hauteurs se croisent à l'orthocentre
- Une médiane divise un triangle en deux parties de même aire
L'essentiel
La somme des angles d'un triangle vaut toujours 180°, et les principales droites (médiatrices, hauteurs, médianes) se croisent en des points spéciaux.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un triangle a deux angles de 50° et 70°. Calcule le troisième angle.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un triangle a une base de 8 cm et une hauteur de 6 cm. Calcule son aire.
Corrige cet exercice avec le tuteur →