Puissances en 5ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de puissances pour les élèves de 5ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Notion de puissance : carré et cube
- Carrés des entiers de 0 à 12, cube de 10
- Écrire un nombre sous forme de puissance 2 ou 3
- Calculer des expressions contenant des puissances simples
Qu'est-ce qu'une puissance ?
Une puissance est une façon raccourcie d'écrire une multiplication où on répète le même nombre plusieurs fois. Par exemple, au lieu d'écrire 2 × 2 × 2, on écrit 2³. Le petit nombre en haut s'appelle l'exposant.
Exemple
Sur TikTok, si chaque personne qui reçoit une vidéo la partage à 2 nouvelles personnes : 2 personnes la reçoivent à l'étape 1, 2 × 2 = 4 à l'étape 2, 2 × 2 × 2 = 8 à l'étape 3... À l'étape 3, ce sont donc 2³ = 8 personnes qui la reçoivent.
À retenir : Une puissance est une multiplication répétée : $a^n = a \times a \times \dots \times a$ ($n$ facteurs égaux à $a$)
Les carrés : puissance 2
Un carré est le résultat de la multiplication d'un nombre par lui-même une fois. On note ça avec un petit 2 en haut : $a^2$. C'est appelé « carré » parce que ça correspond à l'aire d'un carré.
Exemple
Une feuille carrée de 5 cm de côté a une aire de 5 × 5 = 25 cm². C'est 5² = 25.
À retenir : $a^2 = a × a$ — on dit « a au carré »
Les cubes : puissance 3
Un cube est le résultat de la multiplication d'un nombre par lui-même deux fois (trois fois le nombre au total). On note ça avec un petit 3 en haut : $a^3$. C'est appelé « cube » parce que ça correspond au volume d'un cube.
Exemple
Un dé cubique de 2 cm de côté contient un volume de 2 × 2 × 2 = 8 cm³. C'est 2³ = 8.
À retenir : $a^3 = a × a × a$ — on dit « a au cube »
Carrés des nombres de 0 à 12
Il faut connaître par cœur le résultat du carré de chaque nombre de 0 à 12. C'est très utile pour calculer rapidement sans calculatrice.
Exemple
Au foot, si on arrange des balles en carré de 6 balles de côté, on en a 6² = 36 balles au total. Ou pour vérifier : 10² = 100 c'est facile, et 11² = 121, 12² = 144.
À retenir : Apprendre par cœur : 0²=0, 1²=1, 2²=4, 3²=9, 4²=16, 5²=25, 6²=36, 7²=49, 8²=64, 9²=81, 10²=100, 11²=121, 12²=144
Le cube de 10
Le cube de 10 est un cas particulier très utile à connaître : 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000.
Exemple
Un aquarium cubique de 10 cm de côté contient exactement 1 000 cm³, c'est-à-dire 1 litre.
À retenir : 10³ = 1 000 — c'est le cube de 10 à retenir absolument
Écrire un nombre sous forme de puissance
Parfois, on doit reconnaître qu'un nombre peut s'écrire comme une puissance. Par exemple, 8 = 2³ ou 25 = 5². C'est utile pour simplifier les calculs.
Exemple
Si on dit « j'ai 27 cubes à ranger en cube parfait », on reconnaît que 27 = 3³, donc on peut faire un cube de 3 × 3 × 3.
À retenir : Il faut reconnaître les puissances : 4=2², 8=2³, 9=3², 16=4², 25=5², 27=3³, 100=10²
Calculer avec des puissances
Quand on a une expression avec des puissances mélangées à d'autres opérations, on calcule d'abord ce qui est entre parenthèses, puis les puissances, avant les multiplications et additions.
Exemple
Pour calculer 2 + 3², on fait d'abord 3² = 9, puis 2 + 9 = 11. Pas 5² = 25 !
À retenir : ORDRE DE CALCUL : d'abord les parenthèses, puis les puissances, puis les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions. Exemple : (2 + 3)² = 5² = 25, alors que 2 + 3² = 2 + 9 = 11.
Les points clés
- Une puissance $a^n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$
- Le carré $a^2$ = $a × a$ et le cube $a^3$ = $a × a × a$
- Connaître par cœur les carrés de 0 à 12 et 10³ = 1 000
- Dans un calcul, faire les puissances AVANT les multiplications, divisions, additions et soustractions (les parenthèses restent prioritaires)
- Savoir reconnaître qu'un nombre est une puissance : 8=2³, 25=5², etc.
L'essentiel
Une puissance est une multiplication répétée, on la note $a^n$ ; dans un calcul sans parenthèses, on la calcule avant les multiplications, divisions, additions et soustractions ; les parenthèses restent prioritaires.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 2
Écris sous forme de puissance : a) 7 × 7 b) 2 × 2 × 2 c) 9 × 9 × 9
Corrige cet exercice avec le tuteur →