Résoudre f(x) = k ou f(x) < k en 2nde
Résoudre f(x) = k ou f(x) < k, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Fonctions de référence », au programme de 2nde. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Résoudre f(x) = k ou f(x) < k : le cours
Graphiquement, les solutions de $f(x) = k$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe avec la droite d'équation $y = k$, et celles de $f(x) < k$ sont les abscisses des points de la courbe situés au-dessous de cette droite. Algébriquement : $x^2 = k$ n'a pas de solution si $k < 0$, a pour seule solution 0 si $k = 0$, et a deux solutions $-\sqrt{k}$ et $\sqrt{k}$ si $k > 0$. Pour $k > 0$ : $x^2 < k \iff -\sqrt{k} < x < \sqrt{k}$. Pour $k \neq 0$, $\frac{1}{x} = k \iff x = \frac{1}{k}$. Pour $k \geq 0$, $\sqrt{x} = k \iff x = k^2$.
Exemple
$x^2 = 9$ a deux solutions : $-3$ et $3$. $x^2 < 9$ pour $x$ dans $]-3 ; 3[$ (la parabole est au-dessous de la droite $y = 9$ entre ces deux points). $x^2 > 9$ pour $x$ dans $]-\infty ; -3[ \cup ]3 ; +\infty[$. $x^2 = -4$ n'a pas de solution, car un carré est toujours positif.
À retenir
Pour $k > 0$ : $x^2 = k \iff x = -\sqrt{k}$ ou $x = \sqrt{k}$ ; $x^2 < k \iff x \in ]-\sqrt{k} ; \sqrt{k}[$.
S'entraîner sur résoudre f(x) = k ou f(x) < k
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
1) Sans calculatrice, compare $\left(-\frac{4}{3}\right)^2$ et $\left(-\frac{3}{2}\right)^2$, puis $\sqrt{7}$ et $\sqrt{6{,}5}$, puis $\frac{1}{-2}$ et $\frac{1}{-5}$. Justifie avec le sens de variation de la fonction utilisée. 2) Pour quelles valeurs de $x \geq 0$ a-t-on $x^2 < x$ ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Résous dans $\mathbb{R}$ : a) $x^2 = 5$ ; b) $x^2 \leq 16$ ; c) $\frac{1}{x} = 4$ ; d) $\sqrt{x} = 3$ ; e) $|x| = 2$ ; f) $x^3 = -8$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Fonctions de référence (Mathématiques 2nde).