Position relative des courbes y = x et y = x² pour x ≥ 0 en 2nde
Position relative des courbes y = x et y = x² pour x ≥ 0, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Fonctions de référence », au programme de 2nde. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Position relative des courbes y = x et y = x² pour x ≥ 0 : le cours
Pour $x \geq 0$, on étudie le signe de la différence : $x^2 - x = x(x - 1)$. Si $0 \leq x \leq 1$, on a $x \geq 0$ et $x - 1 \leq 0$, donc $x^2 - x \leq 0$ : la parabole $y = x^2$ est au-dessous de la droite $y = x$. Si $x \geq 1$, $x^2 - x \geq 0$ : la parabole est au-dessus de la droite. Les deux courbes se coupent aux points $(0 ; 0)$ et $(1 ; 1)$.
Exemple
$0{,}5^2 = 0{,}25 < 0{,}5$ : pour un nombre entre 0 et 1, le carré est plus petit que le nombre. $3^2 = 9 > 3$ : pour un nombre supérieur à 1, le carré est plus grand.
À retenir
Pour $0 \leq x \leq 1$ : $x^2 \leq x$ ; pour $x \geq 1$ : $x^2 \geq x$.
S'entraîner sur position relative des courbes y = x et y = x² pour x ≥ 0
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
1) Sans calculatrice, compare $\left(-\frac{4}{3}\right)^2$ et $\left(-\frac{3}{2}\right)^2$, puis $\sqrt{7}$ et $\sqrt{6{,}5}$, puis $\frac{1}{-2}$ et $\frac{1}{-5}$. Justifie avec le sens de variation de la fonction utilisée. 2) Pour quelles valeurs de $x \geq 0$ a-t-on $x^2 < x$ ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Résous dans $\mathbb{R}$ : a) $x^2 = 5$ ; b) $x^2 \leq 16$ ; c) $\frac{1}{x} = 4$ ; d) $\sqrt{x} = 3$ ; e) $|x| = 2$ ; f) $x^3 = -8$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Fonctions de référence (Mathématiques 2nde).