Trigonométrie en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de trigonométrie pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Cercle trigonométrique et radian
- Mesure principale d'un angle orienté
- Cosinus et sinus d'un angle orienté : définition sur le cercle
- Fonctions cosinus et sinus : périodicité, parité, représentation graphique
- Formules d'addition : cos(a±b), sin(a±b)
- Formules de duplication : cos(2a), sin(2a)
- Équations trigonométriques : cos(x)=cos(a), sin(x)=sin(a)
Cercle trigonométrique et radian
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré à l'origine. Le radian est une unité d'angle : un angle d'1 radian correspond à un arc de longueur 1 sur ce cercle.
Exemple
Quand tu fais tourner une roue de vélo, l'angle parcouru peut se mesurer en radians. Un tour complet = $2\pi$ radians = 360°.
À retenir : $2\pi$ radians = 360°, donc $\pi$ radians = 180°
Mesure principale d'un angle orienté
Un angle orienté peut avoir plusieurs mesures (qui diffèrent de $2\pi$). La mesure principale est l'unique mesure dans l'intervalle $]-\pi; \pi]$.
Exemple
Si tu tournes de 450° ou de 90°, tu arrives au même endroit. La mesure principale de 450° est 90° (ou $\frac{\pi}{2}$ rad).
À retenir : La mesure principale est toujours entre $-\pi$ et $\pi$ (exclu à gauche, inclus à droite)
Cosinus et sinus : définition sur le cercle
Sur le cercle trigonométrique, pour un angle $\theta$, le cosinus est l'abscisse du point et le sinus est l'ordonnée du point correspondant.
Exemple
À 0°, tu es à droite du cercle : $\cos(0) = 1$ et $\sin(0) = 0$. À 90°, tu es en haut : $\cos(90°) = 0$ et $\sin(90°) = 1$.
À retenir : Pour tout angle $\theta$ : $\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1$
Périodicité et parité des fonctions trig
Les fonctions cosinus et sinus se répètent tous les $2\pi$ (périodicité). Le cosinus est pair ($\cos(-x) = \cos(x)$) et le sinus est impair ($\sin(-x) = -\sin(x)$).
Exemple
Sur un écran d'oscilloscope, les ondes sonores se répètent régulièrement : c'est la périodicité. Une onde symétrique par rapport à l'axe vertical montre la parité.
À retenir : $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$ et $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ pour tout $x$
Représentation graphique des fonctions trig
La courbe du cosinus est une ondulation qui commence à 1, descend à -1, puis remonte. La courbe du sinus commence à 0, monte à 1, descend à -1.
Exemple
Les vagues de l'océan suivent une forme sinusoïdale. Les marées montent et descendent selon une courbe de type sinus.
À retenir : Les deux courbes oscillent entre -1 et 1, avec une période de $2\pi$
Formules d'addition : cos(a±b) et sin(a±b)
Ces formules permettent de calculer le cosinus ou le sinus d'une somme ou différence d'angles à partir des cosinus et sinus des angles individuels.
Exemple
Pour trouver $\sin(75°)$, tu peux l'écrire comme $\sin(45° + 30°)$ et utiliser la formule d'addition.
À retenir : $\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$ et $\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$
Formules de duplication : cos(2a) et sin(2a)
Ces formules expriment le cosinus et le sinus du double d'un angle en fonction de cet angle. C'est un cas particulier des formules d'addition.
Exemple
Si tu connais $\sin(30°)$, tu peux trouver $\sin(60°)$ avec la formule de duplication.
À retenir : $\cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a) = 2\cos^2(a) - 1 = 1 - 2\sin^2(a)$ et $\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)$
Équations trigonométriques : cos(x)=cos(a)
Résoudre $\cos(x) = \cos(a)$ signifie trouver tous les angles $x$ qui ont le même cosinus que $a$. Les solutions sont $x = a + 2k\pi$ ou $x = -a + 2k\pi$ (avec $k$ entier).
Exemple
Si $\cos(x) = \cos(\frac{\pi}{3})$, alors $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$.
À retenir : $\cos(x) = \cos(a) \Leftrightarrow x = \pm a + 2k\pi$ (avec $k \in \mathbb{Z}$)
Équations trigonométriques : sin(x)=sin(a)
Résoudre $\sin(x) = \sin(a)$ signifie trouver tous les angles $x$ qui ont le même sinus que $a$. Les solutions sont $x = a + 2k\pi$ ou $x = \pi - a + 2k\pi$ (avec $k$ entier).
Exemple
Si $\sin(x) = \sin(\frac{\pi}{6})$, alors $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ ou $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$.
À retenir : $\sin(x) = \sin(a) \Leftrightarrow x = a + 2k\pi$ ou $x = \pi - a + 2k\pi$ (avec $k \in \mathbb{Z}$)
Les points clés
- Le cercle trigonométrique a rayon 1 ; cosinus = abscisse, sinus = ordonnée
- Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période $2\pi$ et oscillent entre -1 et 1
- Les formules d'addition et de duplication permettent de calculer des angles complexes
- Les équations trigonométriques ont une infinité de solutions (différentes de $2k\pi$)
- La mesure principale d'un angle est unique dans $]-\pi; \pi]$
L'essentiel
La trigonométrie repose sur le cercle trigonométrique : comprendre comment cosinus et sinus se définissent géométriquement permet de résoudre tous les problèmes.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Résous l'équation $\cos(x) = \frac{1}{2}$ sur l'intervalle $]-\pi; \pi]$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Calcule $\sin(75°)$ en utilisant une formule d'addition.
Corrige cet exercice avec le tuteur →