Trigonométrie en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de trigonométrie pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Cercle trigonométrique, longueur d'arc, radian
- Enroulement de la droite sur le cercle trigonométrique : image d'un nombre réel
- Cosinus et sinus d'un nombre réel
- Lien avec le cosinus et le sinus dans un triangle rectangle
- Valeurs remarquables (π/6, π/4, π/3, π/2) lues sur le cercle
Cercle trigonométrique, longueur d'arc et radian
Dans un repère orthonormé d'origine O, le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre). Le radian est l'unité d'angle telle qu'un angle au centre de 1 radian intercepte un arc de longueur égale au rayon. Sur un cercle de rayon $R$, un angle au centre de $\alpha$ radians intercepte un arc de longueur $L = R \times \alpha$ : sur le cercle trigonométrique ($R = 1$), la longueur de l'arc est égale à la mesure de l'angle en radians.
Exemple
Le périmètre du cercle trigonométrique vaut $2\pi \times 1 = 2\pi$ : un tour complet correspond à $2\pi$ radians, soit 360°. Un quart de tour intercepte un arc de longueur $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$, donc mesure $\frac{\pi}{2}$ rad, soit 90°. Sur une roue de rayon 30 cm, un angle au centre de 2 rad intercepte un arc de $30 \times 2 = 60$ cm.
À retenir : $\pi$ rad = 180°. Pour convertir, on utilise la proportionnalité : $x$ degrés = $\frac{x \times \pi}{180}$ rad. Sur un cercle de rayon $R$, longueur d'arc = $R \times \alpha$ (avec $\alpha$ en radians).
Enroulement de la droite des réels sur le cercle
On trace la droite graduée tangente au cercle trigonométrique au point $I(1 ; 0)$, avec son origine en $I$ et orientée vers le haut, puis on l'« enroule » autour du cercle : les nombres positifs dans le sens direct, les nombres négatifs dans le sens indirect. Chaque réel $x$ vient se placer sur un unique point $M$ du cercle, appelé image de $x$. Comme le périmètre du cercle vaut $2\pi$, les réels $x$ et $x + 2k\pi$ ($k$ entier relatif) ont la même image.
Exemple
L'image de $\pi$ (un demi-tour) est le point de coordonnées $(-1 ; 0)$. L'image de $\frac{\pi}{2}$ est le point $J(0 ; 1)$ et celle de $-\frac{\pi}{2}$ est le point $(0 ; -1)$. Les réels $\frac{\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{2}$ et $-\frac{3\pi}{2}$ ont tous pour image $J$, car $\frac{5\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 2\pi$ et $-\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = -2\pi$.
À retenir : Chaque réel a une seule image sur le cercle trigonométrique ; chaque point du cercle est l'image d'une infinité de réels, qui diffèrent entre eux d'un multiple de $2\pi$.
Cosinus et sinus d'un nombre réel
Si $M$ est l'image du réel $x$ sur le cercle trigonométrique, le cosinus de $x$ est l'abscisse de $M$ et le sinus de $x$ est son ordonnée : $M(\cos x ; \sin x)$. Comme $OM = 1$, le théorème de Pythagore donne $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$. Comme $x$ et $x + 2k\pi$ ont la même image, ils ont le même cosinus et le même sinus.
Exemple
L'image de $0$ est $I(1 ; 0)$ : $\cos 0 = 1$ et $\sin 0 = 0$. L'image de $\frac{\pi}{2}$ est $J(0 ; 1)$ : $\cos \frac{\pi}{2} = 0$ et $\sin \frac{\pi}{2} = 1$. L'image de $\pi$ est le point $(-1 ; 0)$ : $\cos \pi = -1$ et $\sin \pi = 0$.
À retenir : Pour tout réel $x$ : $-1 \leq \cos x \leq 1$, $-1 \leq \sin x \leq 1$ et $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ ; pour tout entier $k$, $\cos(x + 2k\pi) = \cos x$ et $\sin(x + 2k\pi) = \sin x$.
Lien avec le triangle rectangle
Soit $x$ un réel tel que $0 < x < \frac{\pi}{2}$ et $M$ son image, située dans le premier quart du cercle. Notons $H$ le pied de la perpendiculaire à l'axe des abscisses passant par $M$. Le triangle $OHM$ est rectangle en $H$, son hypoténuse est $OM = 1$ et l'angle $\widehat{HOM}$ mesure $x$ radians. Donc $\cos x = \frac{OH}{OM} = OH$ et $\sin x = \frac{HM}{OM} = HM$ : on retrouve le cosinus (côté adjacent sur hypoténuse) et le sinus (côté opposé sur hypoténuse) du collège.
Exemple
Dans un triangle rectangle ayant un angle de 60°, le côté adjacent à cet angle mesure la moitié de l'hypoténuse (c'est un demi-triangle équilatéral), donc le cosinus de l'angle vaut $\frac{1}{2}$. Comme 60° correspond à $\frac{\pi}{3}$ rad, on a $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ : l'image de $\frac{\pi}{3}$ sur le cercle a pour abscisse $\frac{1}{2}$.
À retenir : Pour un angle aigu, le cosinus et le sinus du réel (mesure en radians) sont ceux de l'angle dans un triangle rectangle ; la définition par le cercle les prolonge à tous les nombres réels.
Valeurs remarquables lues sur le cercle
Les images de $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$ et $\frac{\pi}{2}$ (30°, 45°, 60° et 90°) se placent sur le premier quart du cercle, et leurs coordonnées donnent les valeurs remarquables. Cosinus : $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $\cos \frac{\pi}{2} = 0$. Sinus : $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \frac{\pi}{2} = 1$.
Exemple
L'image $M$ de $\frac{\pi}{4}$ est sur la bissectrice du premier quart de repère, donc ses deux coordonnées sont égales : $\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4}$. Avec $\cos^2 + \sin^2 = 1$, on obtient $2\cos^2 \frac{\pi}{4} = 1$, donc $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707$ (positif car $M$ est dans le premier quart).
À retenir : Astuce : pour $0$, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$, les sinus valent $\frac{\sqrt{0}}{2}$, $\frac{\sqrt{1}}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\frac{\sqrt{4}}{2}$ ; les cosinus sont les mêmes valeurs dans l'ordre inverse.
Les points clés
- $\pi$ rad = 180° ; un tour complet = $2\pi$ rad = 360°
- Sur un cercle de rayon $R$, un angle au centre de $\alpha$ rad intercepte un arc de longueur $R \times \alpha$
- Chaque réel $x$ a une image sur le cercle trigonométrique ; $x$ et $x + 2k\pi$ ont la même image
- $M(\cos x ; \sin x)$ : le cosinus est l'abscisse, le sinus est l'ordonnée, et $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$
- Pour $0 < x < \frac{\pi}{2}$, $\cos x$ et $\sin x$ sont les rapports « adjacent sur hypoténuse » et « opposé sur hypoténuse » du triangle rectangle
- $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $\cos \frac{\pi}{2} = 0$ ; $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \frac{\pi}{2} = 1$
L'essentiel
Le cercle trigonométrique associe à chaque nombre réel un point : son abscisse est le cosinus, son ordonnée le sinus. Savoir enrouler la droite des réels (un tour = $2\pi$) et retenir les valeurs en $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$ et $\frac{\pi}{2}$ permet de lire cosinus et sinus directement sur le cercle.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
1) Convertis 150° en radians, puis $\frac{5\pi}{4}$ rad en degrés. 2) Sur un cercle de rayon 4 cm, quelle est la longueur de l'arc intercepté par un angle au centre de $\frac{\pi}{3}$ rad ? Donne la valeur exacte, puis un arrondi au millimètre.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
1) Justifie que les réels $\frac{13\pi}{6}$ et $\frac{\pi}{6}$ ont la même image sur le cercle trigonométrique. 2) En déduire $\cos \frac{13\pi}{6}$ et $\sin \frac{13\pi}{6}$. 3) Quelle est l'image du réel $-\frac{\pi}{2}$ ? Donne $\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)$ et $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →