Suites numériques et applications financières en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de suites numériques et applications financières pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Suites arithmétiques appliquées
- Suites géométriques et intérêts composés
- Tableur et suites numériques
- Calculs financiers : emprunts, remboursements
- Modélisation de situations professionnelles
Suites arithmétiques et applications
Une suite arithmétique est une liste de nombres où on ajoute toujours la même valeur pour passer d'un nombre au suivant. Cette valeur s'appelle la raison. On l'utilise pour modéliser des situations où quelque chose augmente régulièrement.
Exemple
Un apprenti gagne 1500 euros le premier mois, puis 50 euros de plus chaque mois. Son salaire suit une suite arithmétique : 1500, 1550, 1600, 1650...
À retenir : Le terme général d'une suite arithmétique est $u_n = u_1 + (n-1) \times r$ où r est la raison.
Suites géométriques et intérêts composés
Une suite géométrique est une liste de nombres où on multiplie toujours par le même nombre pour passer d'un terme au suivant. Ce nombre s'appelle la raison. C'est le modèle parfait pour les intérêts bancaires qui s'accumulent.
Exemple
Vous placez 1000 euros à la banque avec 2% d'intérêts par an. Chaque année, votre argent est multiplié par 1,02 : 1000, 1020, 1040,40, 1061,21...
À retenir : Le terme général est $u_n = u_1 \times q^{n-1}$ et pour les intérêts : $C_n = C_0 \times (1 + t)^n$
Tableur et suites numériques
Un tableur (Excel, Calc) permet de calculer rapidement tous les termes d'une suite en utilisant des formules. On crée une colonne pour le rang n et une colonne pour le terme u_n, puis on recopie la formule vers le bas.
Exemple
Pour une suite arithmétique de raison 50, on écrit en A1 : 1, en A2 : =A1+50, puis on recopie vers le bas pour obtenir tous les termes automatiquement.
À retenir : Le tableur économise du temps et évite les erreurs de calcul pour les suites longues.
Calculs financiers : emprunts et remboursements
Quand on emprunte de l'argent, on doit rembourser le capital plus les intérêts. Les calculs de mensualités, du coût total et de la durée utilisent les suites géométriques. C'est essentiel pour comprendre un crédit immobilier ou automobile.
Exemple
Vous empruntez 10000 euros à 3% par an sur 5 ans. Chaque mois, vous remboursez une part du capital et des intérêts. Les suites géométriques permettent de calculer votre mensualité exacte.
À retenir : La mensualité d'un emprunt dépend du capital, du taux d'intérêt et de la durée, calculée avec les formules de suites géométriques.
Modélisation de situations professionnelles
Modéliser, c'est traduire une situation réelle en langage mathématique avec une suite. On identifie le premier terme, la raison, et on écrit la formule pour répondre à des questions pratiques du métier.
Exemple
Un artisan produit 100 pièces le premier mois, puis augmente de 15 pièces chaque mois. On modélise par une suite arithmétique pour prévoir la production au mois 12 ou calculer la production totale.
À retenir : Bien identifier si la situation correspond à une suite arithmétique (augmentation régulière) ou géométrique (multiplication régulière) est la clé de la modélisation.
Les points clés
- Une suite arithmétique augmente toujours de la même quantité (raison r), une suite géométrique multiplie toujours par le même nombre (raison q)
- Les intérêts composés suivent une suite géométrique : chaque année, on gagne des intérêts sur les intérêts précédents
- Le tableur permet de calculer rapidement tous les termes et de visualiser l'évolution d'une suite
- Pour un emprunt, les suites géométriques permettent de calculer la mensualité et le coût total
- Bien choisir le modèle (arithmétique ou géométrique) est essentiel pour résoudre un problème professionnel
L'essentiel
Les suites arithmétiques et géométriques modélisent presque toutes les situations financières : il faut identifier la raison et appliquer la bonne formule.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un salon de coiffure facture 25 euros la première coupe, puis augmente le prix de 1,50 euro chaque année. Quel sera le prix en année 10 ? Combien aura coûté au total une coupe par an pendant 10 ans ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Vous placez 5000 euros à la banque avec un taux d'intérêt annuel de 2,5%. Quel montant aurez-vous après 8 ans ? Combien d'intérêts aurez-vous gagnés ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →