Probabilités en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de probabilités pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Réunion et intersection d’événements
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Tableaux croisés d’effectifs
- Fréquence conditionnelle
- Probabilité conditionnelle
Réunion et intersection d'événements
La réunion de deux événements A et B (notée A ∪ B) contient tous les résultats qui appartiennent à A ou à B ou aux deux. L'intersection (notée A ∩ B) contient seulement les résultats qui appartiennent à la fois à A et à B.
Exemple
Tu lances un dé. A = obtenir un nombre pair (2, 4, 6) et B = obtenir un nombre supérieur à 3 (4, 5, 6). Alors A ∪ B = {2, 4, 5, 6} et A ∩ B = {4, 6}.
À retenir : A ∪ B c'est « au moins l'un des deux », A ∩ B c'est « les deux à la fois ».
Formule de probabilité d'une réunion
Pour calculer la probabilité que A ou B se réalise, on additionne leurs probabilités mais on soustrait la probabilité qu'ils se réalisent ensemble, sinon on la compte deux fois.
Exemple
Au lycée, 30 % des élèves font du football, 25 % font du tennis, et 10 % font les deux. La probabilité qu'un élève fasse au moins un de ces deux sports est : 30 % + 25 % - 10 % = 45 %.
À retenir : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ toujours, sans exception.
Tableaux croisés d'effectifs
C'est un tableau à double entrée qui compte combien de personnes (ou d'objets) appartiennent à chaque combinaison de deux critères. Il permet de résumer rapidement les données.
Exemple
Un tableau qui croise le sexe (garçon/fille) et le sport pratiqué (foot/tennis/rien). On voit immédiatement combien de filles font du football, combien de garçons ne font aucun sport, etc.
À retenir : Les tableaux croisés d'effectifs servent à organiser les données pour calculer ensuite des probabilités conditionnelles.
Fréquence conditionnelle
C'est la proportion d'une partie dans un sous-groupe. Par exemple, parmi les filles uniquement, quelle fraction fait du sport ? On regarde seulement les filles et on compte combien parmi elles font du sport.
Exemple
Dans une classe de 30 élèves : 15 filles. Parmi les 15 filles, 9 font du sport. La fréquence conditionnelle « faire du sport sachant qu'on est une fille » est 9/15 = 0,6, soit 60 %.
À retenir : La fréquence conditionnelle = (nombre qui vérifie les deux critères) divisé par (nombre total du sous-groupe).
Probabilité conditionnelle
C'est la probabilité qu'un événement B se réalise, en sachant que l'événement A s'est déjà réalisé. On la note $P_A(B)$ et on lit « probabilité de B sachant A ».
Exemple
On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes. Tu sais que ton ami a tiré une carte rouge. Quelle est la probabilité que ce soit un cœur ? On ne compte que les 26 cartes rouges du jeu, et 13 d'entre elles sont des cœurs, donc P = 13/26 = 0,5.
À retenir : $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ : on divise la probabilité que les deux arrivent par la probabilité de ce qu'on sait déjà.
Les points clés
- La réunion A ∪ B contient « ou », l'intersection A ∩ B contient « et »
- Ne pas oublier de soustraire P(A ∩ B) dans la formule, sinon on compte deux fois les cas où les deux événements arrivent
- Un tableau croisé permet de passer facilement des effectifs aux probabilités conditionnelles
- Probabilité conditionnelle = on restreint l'univers au cas où la condition est vraie
- $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ avec $P(A) \neq 0$
L'essentiel
La probabilité conditionnelle $P_A(B)$ change l'univers : au lieu de regarder tous les cas possibles, on regarde seulement ceux où A est vrai, puis on compte la proportion où B est aussi vrai.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Dans une classe de 100 élèves : 60 ont un smartphone, 40 ont une tablette, et 25 ont les deux. Calcule la probabilité qu'un élève choisi au hasard ait au moins un appareil parmi les deux.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Parmi 200 clients d'un magasin : 120 sont venus le samedi, 150 ont acheté quelque chose, et 100 sont venus le samedi et ont acheté quelque chose. Quelle est la probabilité qu'un client ait acheté sachant qu'il est venu le samedi ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →