Probabilités et loi normale en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de probabilités et loi normale pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Loi normale et courbe de Gauss
- Intervalle de confiance
- Sondages
- Applications : contrôle de qualité
Loi de probabilité : espérance et variance
Une loi de probabilité associe à chaque résultat possible sa probabilité. L'espérance est la valeur moyenne attendue, et la variance mesure la dispersion des résultats autour de cette moyenne.
Exemple
Au casino, une machine à sous a une espérance négative : en moyenne, vous perdez de l'argent. La variance indique si vous pouvez avoir de gros gains ou des petites pertes régulières.
À retenir : L'espérance $E(X) = \sum x_i \cdot p_i$ et la variance $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ quantifient le comportement moyen et la variabilité.
Loi binomiale et ses propriétés
La loi binomiale décrit le nombre de succès dans une série d'expériences identiques et indépendantes, chacune ayant deux résultats possibles (succès ou échec).
Exemple
Vous lancez un dé 10 fois et comptez combien de fois vous obtenez un 6. Le nombre de 6 suit une loi binomiale avec $n = 10$ et $p = 1/6$.
À retenir : Pour une loi binomiale $B(n, p)$ : $E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$.
Approximation de la loi binomiale
Quand $n$ est grand et $p$ ni trop proche de 0 ni de 1, on peut approximer une loi binomiale par une loi normale, ce qui simplifie les calculs.
Exemple
Un sondage auprès de 1000 personnes sur un oui/non : au lieu de calculer avec la loi binomiale exacte, on utilise une loi normale pour estimer rapidement les résultats.
À retenir : On peut approximer $B(n, p)$ par $N(np, np(1-p))$ si $n \geq 30$, $np \geq 5$ et $n(1-p) \geq 5$.
Loi normale et courbe de Gauss
La loi normale est une distribution continue en forme de cloche, symétrique autour de sa moyenne. Elle modélise de nombreux phénomènes naturels (tailles, poids, notes...).
Exemple
Les tailles des adultes français suivent approximativement une loi normale : la plupart sont proches de la moyenne (175 cm), et très peu sont extrêmement grands ou petits.
À retenir : Une loi normale est entièrement déterminée par son espérance $\mu$ et son écart-type $\sigma$ : on la note $N(\mu, \sigma^2)$.
Lecture de tables et calculatrice
Pour calculer des probabilités avec la loi normale, on utilise des tables qui donnent $P(Z \leq z)$ pour la loi normale centrée réduite, ou on utilise la calculatrice.
Exemple
Pour trouver la probabilité qu'une taille soit inférieure à 180 cm, on standardise la valeur en $z$-score, puis on lit la table ou on utilise la fonction normalcdf de la calculatrice.
À retenir : La variable centrée réduite est $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$, et on utilise les tables pour $P(Z \leq z)$.
Applications : contrôle de qualité
Le contrôle de qualité utilise les probabilités pour vérifier qu'un lot de produits respecte les normes, en testant un échantillon plutôt que tous les produits.
Exemple
Une usine fabrique des ampoules. On teste 100 ampoules pour vérifier que moins de 5% sont défectueuses. Si c'est le cas, on accepte le lot.
À retenir : On utilise la loi binomiale ou normale pour déterminer si un lot doit être accepté ou rejeté selon un seuil de confiance.
Applications : sondages et intervalles de confiance
Un sondage estime une proportion dans une population en interrogeant un échantillon. L'intervalle de confiance donne une plage où se situe probablement la vraie proportion.
Exemple
Un sondage auprès de 1000 personnes montre que 52% votent pour le candidat A. L'intervalle de confiance à 95% est environ [49% ; 55%], ce qui signifie qu'on est sûr à 95% que la vraie proportion est dans cet intervalle.
À retenir : L'intervalle de confiance à 95% pour une proportion est $\left[p - 1.96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} ; p + 1.96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right]$.
Les points clés
- L'espérance est la valeur moyenne, la variance mesure la dispersion autour de cette moyenne
- La loi binomiale compte les succès dans des expériences répétées indépendantes
- Quand n est grand, on peut remplacer la loi binomiale par une loi normale pour simplifier
- La loi normale est symétrique autour de sa moyenne et décrite par son espérance et son écart-type
- Pour utiliser les tables de la loi normale, il faut d'abord standardiser avec le z-score
- Le contrôle de qualité et les sondages appliquent ces lois pour prendre des décisions sur des populations entières
L'essentiel
La loi normale est l'outil central des probabilités en Terminale : elle modélise la plupart des phénomènes naturels et permet d'approximer la loi binomiale pour simplifier les calculs.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Une urne contient 10 boules : 6 blanches et 4 noires. On tire successivement et avec remise 5 boules. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de boules blanches obtenues. 1) Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. 2) Calculer l'espérance E(X) et la variance V(X). 3) Calculer P(X = 3).
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une machine fabrique des pièces dont la longueur suit une loi normale de moyenne μ = 100 mm et d'écart-type σ = 2 mm. On prélève une pièce au hasard. 1) Calculer P(98 < X < 102). 2) Calculer P(X > 104). 3) Déterminer la longueur L telle que P(X < L) = 0,975.
Corrige cet exercice avec le tuteur →