Fonction logarithme et exponentielle en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de fonction logarithme et exponentielle pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Fonction exponentielle et propriétés
- Logarithme (décimal ST2S/STHR, népérien STMG)
- Croissances comparées
- Applications aux phénomènes d'évolution (intérêts composés, décroissance)
Fonction exponentielle et propriétés
La fonction exponentielle, notée $e^x$ ou $\exp(x)$, est une fonction qui croît très rapidement. Elle est définie pour tous les nombres réels et sa dérivée est elle-même : $(e^x)' = e^x$.
Exemple
La propagation d'un virus ou la croissance d'une population de bactéries suit une courbe exponentielle : le nombre double régulièrement à intervalles fixes.
À retenir : Les propriétés clés : $e^{a+b} = e^a \times e^b$, $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$, et $e^0 = 1$.
Fonction logarithme népérien
Le logarithme népérien, noté $\ln(x)$, est la fonction inverse de l'exponentielle. Elle n'existe que pour les nombres strictement positifs et croît lentement.
Exemple
L'échelle de Richter pour mesurer l'intensité des tremblements de terre utilise un logarithme : une augmentation de 1 point représente une multiplication par 10 de l'énergie.
À retenir : Les propriétés essentielles : $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$, $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$, et $\ln(e) = 1$.
Relation entre exponentielle et logarithme
L'exponentielle et le logarithme sont des fonctions réciproques : si $y = e^x$, alors $x = \ln(y)$. Elles s'annulent mutuellement.
Exemple
Pour résoudre une équation comme $e^x = 5$, on utilise le logarithme : $x = \ln(5)$. C'est comme utiliser la touche inverse d'une calculatrice.
À retenir : $e^{\ln(x)} = x$ et $\ln(e^x) = x$ pour tous les $x$ valides.
Croissances comparées
La croissance comparée étudie comment différentes fonctions (polynômes, exponentielles, logarithmes) se comportent quand $x$ tend vers l'infini. L'exponentielle croît beaucoup plus vite qu'un polynôme.
Exemple
Un placement bancaire avec intérêts composés (exponentiel) surpassera toujours un salaire augmentant linéairement, même si le salaire commence plus haut.
À retenir : En termes de croissance : $e^x$ dépasse $x^n$ (pour tout $n$), qui dépasse $\ln(x)$ quand $x \to +\infty$.
Intérêts composés et placements
Les intérêts composés suivent une croissance exponentielle : chaque année, on gagne des intérêts sur le capital ET sur les intérêts précédents. La formule est $C(t) = C_0 \times (1 + r)^t$.
Exemple
Un placement de 1000 euros à 5% par an devient 1050 euros après 1 an, puis 1102,50 euros après 2 ans (les 50 euros gagnés la première année rapportent aussi des intérêts).
À retenir : Avec intérêts composés : $C(t) = C_0 \times e^{rt}$ en temps continu, où $r$ est le taux annuel.
Décroissance exponentielle
Certains phénomènes diminuent exponentiellement : radioactivité, refroidissement d'un objet, concentration d'un médicament. La formule est $N(t) = N_0 \times e^{-\lambda t}$ avec $\lambda > 0$.
Exemple
La demi-vie du Carbone 14 est 5730 ans : après cette durée, il en reste la moitié. Les archéologues l'utilisent pour dater les fossiles.
À retenir : La décroissance exponentielle suit $N(t) = N_0 \times (\frac{1}{2})^{t/T}$ où $T$ est la demi-vie.
Les points clés
- L'exponentielle et le logarithme sont inverses l'une de l'autre
- L'exponentielle croît plus vite que n'importe quel polynôme
- Les intérêts composés et la radioactivité suivent des modèles exponentiels
- Les propriétés des logarithmes transforment les multiplications en additions
- La dérivée de $e^x$ est $e^x$ elle-même
L'essentiel
L'exponentielle $e^x$ et le logarithme $\ln(x)$ sont les deux outils fondamentaux pour modéliser les phénomènes d'évolution rapide (croissance ou décroissance) du monde réel.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un emprunt de 100 000€ sur 20 ans à 2,5% avec amortissement. 1) Calculer l'annuité constante 2) Établir le tableau d'amortissement pour les 3 premières années 3) Déterminer la part d'intérêts et de capital remboursés
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un laboratoire pharmaceutique étudie la propagation d'un médicament dans le corps. On modélise sa concentration C(t) en mg/L par la fonction C(t) = 50 × (0,5)^(t/3), où t représente le temps en heures écoulées depuis l'injection. 1) Calculer la concentration initiale du médicament 2) Déterminer la concentration après 6 heures 3) Au bout de combien de temps la concentration sera-t-elle inférieure à 10 mg/L ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →