Probabilités conditionnelles et lois en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de probabilités conditionnelles et lois pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Probabilités conditionnelles et indépendance
- Arbres pondérés et probabilités totales
- Formule de Bayes
Probabilités conditionnelles et indépendance
La probabilité conditionnelle est la probabilité qu'un événement se produise sachant qu'un autre événement s'est déjà réalisé. Deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un n'affecte pas la probabilité de l'autre.
Exemple
Au lycée, la probabilité de réussir un examen sachant qu'on a bien révisé. Ou : la probabilité qu'il pleuve demain est indépendante du résultat d'un match de foot aujourd'hui.
À retenir : $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ et A et B sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
Arbres pondérés et formule de Bayes
Un arbre pondéré représente graphiquement les probabilités d'une succession d'événements. La formule de Bayes permet de calculer la probabilité d'une cause connaissant l'effet observé.
Exemple
Un test de dépistage : on connaît la probabilité d'être positif si on est malade, mais on veut savoir la probabilité d'être vraiment malade si le test est positif.
À retenir : Formule de Bayes : $P(A|B) = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)}$ où $P(B) = P(B|A) \times P(A) + P(B|\overline{A}) \times P(\overline{A})$
Loi binomiale et schéma de Bernoulli
Un schéma de Bernoulli est une répétition d'expériences identiques et indépendantes avec deux résultats possibles (succès ou échec). La loi binomiale donne la probabilité d'obtenir exactement k succès en n répétitions.
Exemple
Lancer un dé 10 fois et compter combien de fois on obtient un 6. Ou : tirer 20 fois à la loterie et compter les gains.
À retenir : $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ où n est le nombre de répétitions et p la probabilité de succès
Loi normale et approximation
La loi normale est une distribution en forme de cloche symétrique, caractérisée par sa moyenne et son écart-type. Elle permet d'approximer d'autres lois pour de grandes valeurs de n.
Exemple
La taille des élèves d'un lycée suit approximativement une loi normale. Les notes à un examen national aussi, généralement centrées autour de 10-12.
À retenir : Pour une loi normale $N(\mu, \sigma)$, environ 95% des valeurs se situent dans l'intervalle $[\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma]$
Les points clés
- La probabilité conditionnelle change selon l'information disponible : $P(A|B) \neq P(A)$ en général
- L'indépendance signifie que connaître B ne nous apprend rien sur A : $P(A|B) = P(A)$
- Un arbre pondéré se lit de gauche à droite, en multipliant les probabilités le long du chemin
- La loi binomiale s'applique uniquement si les n expériences sont identiques et indépendantes
- La loi normale est continue et symétrique autour de sa moyenne
- On peut approximer une loi binomiale par une loi normale quand n est grand (n > 30 généralement)
L'essentiel
Les probabilités conditionnelles et la loi binomiale sont les deux piliers du chapitre : maîtriser $P(A|B)$ et $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ suffit pour résoudre la plupart des exercices.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
On lance 10 fois de suite une pièce équilibrée. On considère que c'est un succès si on obtient "Face". 1) Justifier que cette expérience suit une loi binomiale et donner ses paramètres. 2) Calculer la probabilité d'obtenir exactement 6 faces. 3) Calculer la probabilité d'obtenir au moins 8 faces. 4) Calculer l'espérance et l'écart-type du nombre de faces obtenues.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un magasin reçoit des articles en provenance de deux fournisseurs A et B. 60% des articles viennent de A et 40% de B. Le taux de défaut est de 2% pour A et 5% pour B. 1) Calculer la probabilité qu'un article soit défectueux. 2) Un article est défectueux. Quelle est la probabilité qu'il provienne du fournisseur A?
Corrige cet exercice avec le tuteur →