Calcul intégral et applications en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de calcul intégral et applications pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Primitives des fonctions usuelles
- Intégrale d'une fonction continue et positive
- Calcul d'aires sous une courbe
- Applications à l'économie : coût marginal, surplus
Primitives des fonctions usuelles
Une primitive d'une fonction f est une fonction F dont la dérivée est f. C'est l'opération inverse de la dérivation. Pour chaque fonction, il existe une famille de primitives qui diffèrent par une constante.
Exemple
Si tu connais la vitesse d'une voiture à chaque instant (fonction f), trouver la distance parcourue revient à chercher une primitive de cette vitesse.
À retenir : La primitive de $x^n$ est $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (pour $n \neq -1$), et on ajoute toujours la constante C.
Intégrale d'une fonction continue et positive
L'intégrale d'une fonction f entre deux points a et b mesure l'aire sous la courbe de f entre ces deux points. Elle se note $\int_a^b f(x) dx$ et se calcule avec le théorème fondamental : $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ où F est une primitive de f.
Exemple
Pour calculer la consommation totale d'électricité sur une journée, on intègre la puissance consommée (en watts) sur le temps (en heures).
À retenir : L'intégrale se calcule toujours en trouvant une primitive, puis en évaluant la différence aux bornes.
Calcul d'aires sous une courbe
Calculer l'aire sous une courbe entre deux points a et b revient à calculer l'intégrale de la fonction sur cet intervalle. Si la fonction est positive, cette aire est exactement $\int_a^b f(x) dx$.
Exemple
Pour connaître la distance totale parcourue par un cycliste, on calcule l'aire sous la courbe de sa vitesse en fonction du temps.
À retenir : L'aire sous une courbe positive entre a et b est toujours égale à $F(b) - F(a)$ où F est une primitive.
Coût marginal et applications économiques
Le coût marginal est le coût supplémentaire pour produire une unité de plus. C'est la dérivée de la fonction coût total. En intégrant le coût marginal, on retrouve le coût total.
Exemple
Une boulangerie produit des pains. Si le coût pour fabriquer un pain supplémentaire augmente avec la production, le coût marginal est cette augmentation. L'intégrale du coût marginal donne le coût total de production.
À retenir : Le coût total est la primitive du coût marginal : $C(x) = \int C'(x) dx$.
Surplus du consommateur et du producteur
Le surplus du consommateur est la différence entre ce qu'il est prêt à payer et ce qu'il paie réellement. Le surplus du producteur est la différence entre le prix de vente et le coût minimum accepté. Ces deux surplus se calculent par intégration.
Exemple
Tu es prêt à payer 50 euros pour un jeu vidéo, mais tu le trouves à 35 euros. Ton surplus est 15 euros. À l'échelle d'un marché, on calcule ce surplus total en intégrant la courbe de demande.
À retenir : Le surplus se calcule en intégrant la différence entre la courbe de demande (ou d'offre) et le prix d'équilibre.
Les points clés
- Une primitive contient toujours une constante C arbitraire
- L'intégrale mesure une aire sous une courbe entre deux bornes
- Le théorème fondamental relie primitives et intégrales : $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$
- En économie, intégrer le coût marginal donne le coût total
- Le surplus se calcule par l'aire entre deux courbes
L'essentiel
L'intégrale est l'outil pour calculer des aires et des accumulations ; elle se résout toujours en trouvant une primitive et en appliquant le théorème fondamental.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Une entreprise a un coût marginal donné par $C'(x) = 3x + 2$ (en euros par unité), où x est le nombre d'unités produites. Le coût fixe est 100 euros. Calcule le coût total pour produire 10 unités.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Calcule l'aire sous la courbe de $f(x) = x^2 + 1$ entre x = 0 et x = 3.
Corrige cet exercice avec le tuteur →