Théorème admis : suite croissante majorée en Terminale
Théorème admis : suite croissante majorée, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Suites », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Théorème admis : suite croissante majorée : le cours
Théorème (admis) : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. Ce théorème prouve l'existence d'une limite, sans en donner la valeur ; si la suite croissante converge vers $\ell$, alors $u_n \leq \ell$ pour tout $n$. On démontre aussi qu'une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$.
Exemple
Un compte d'épargne dont le solde augmente chaque mois sans jamais dépasser 1 000 euros : la suite des soldes converge, vers une limite inférieure ou égale à 1 000. L'exercice 1 applique ce théorème.
À retenir
Croissante et majorée ⇒ convergente (existence de la limite seulement).
S'entraîner sur théorème admis : suite croissante majorée
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{u_n + 2}{2}$ pour tout $n \geq 0$. a) Montrer par récurrence que $u_n < u_{n+1} < 2$ pour tout $n \geq 0$. b) En déduire que $(u_n)$ converge.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Déterminer la limite de la suite définie pour tout $n \geq 0$ par $u_n = \frac{3n + 1}{n + 2}$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Suites (Mathématiques Terminale).