Opérations sur les limites en Terminale
Opérations sur les limites, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Suites », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Opérations sur les limites : le cours
Si deux suites ont une limite (finie ou infinie), on obtient en général la limite de leur somme, de leur produit ou de leur quotient à partir de leurs limites. Quatre cas ne permettent pas de conclure directement : ce sont les formes indéterminées « $+\infty - \infty$ », « $0 \times \infty$ », « $\frac{\infty}{\infty}$ » et « $\frac{0}{0}$ ». On lève alors l'indétermination en transformant l'écriture (factorisation par le terme dominant, par exemple).
Exemple
$\lim (n^2 + 3n) = +\infty$ (somme de deux suites qui tendent vers $+\infty$). Pour $u_n = n^2 - 3n$, on a une forme « $+\infty - \infty$ » ; on factorise : $u_n = n(n - 3)$, produit de deux suites qui tendent vers $+\infty$, donc $\lim u_n = +\infty$.
À retenir
Devant une forme indéterminée, on factorise ou on transforme l'écriture avant de conclure.
S'entraîner sur opérations sur les limites
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{u_n + 2}{2}$ pour tout $n \geq 0$. a) Montrer par récurrence que $u_n < u_{n+1} < 2$ pour tout $n \geq 0$. b) En déduire que $(u_n)$ converge.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Déterminer la limite de la suite définie pour tout $n \geq 0$ par $u_n = \frac{3n + 1}{n + 2}$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Suites (Mathématiques Terminale).