Suite géométrique $(q^n)$ et inégalité de Bernoulli en Terminale
Suite géométrique $(q^n)$ et inégalité de Bernoulli, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Suites », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Suite géométrique $(q^n)$ et inégalité de Bernoulli : le cours
Inégalité de Bernoulli : pour tout réel $a > 0$ et tout entier naturel $n$, $(1 + a)^n \geq 1 + na$. Elle se démontre par récurrence : si $(1 + a)^n \geq 1 + na$, alors, en multipliant par $1 + a > 0$, $(1 + a)^{n+1} \geq (1 + na)(1 + a) = 1 + (n + 1)a + na^2 \geq 1 + (n + 1)a$. On en déduit le comportement de $(q^n)$ : si $q > 1$, on écrit $q = 1 + a$ avec $a > 0$, donc $q^n \geq 1 + na$, qui tend vers $+\infty$ : par comparaison, $\lim q^n = +\infty$. Si $q = 1$, la suite est constante égale à 1. Si $-1 < q < 1$, $\lim q^n = 0$. Si $q \leq -1$, la suite $(q^n)$ n'a pas de limite.
Exemple
$\lim 1{,}05^n = +\infty$ ; $\lim 0{,}8^n = 0$ ; $\lim (-0{,}5)^n = 0$ ; la suite $((-2)^n)$ n'a pas de limite (ses termes changent de signe et leur valeur absolue grandit).
À retenir
$q > 1$ : $q^n \to +\infty$ ; $-1 < q < 1$ : $q^n \to 0$ ; $q = 1$ : suite constante ; $q \leq -1$ : pas de limite.
S'entraîner sur suite géométrique $(q^n)$ et inégalité de bernoulli
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{u_n + 2}{2}$ pour tout $n \geq 0$. a) Montrer par récurrence que $u_n < u_{n+1} < 2$ pour tout $n \geq 0$. b) En déduire que $(u_n)$ converge.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Déterminer la limite de la suite définie pour tout $n \geq 0$ par $u_n = \frac{3n + 1}{n + 2}$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Suites (Mathématiques Terminale).