Limite infinie d'une suite en Terminale
Limite infinie d'une suite, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Suites », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Limite infinie d'une suite : le cours
La suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle $[A ; +\infty[$ contient tous les termes $u_n$ à partir d'un certain rang. Elle tend vers $-\infty$ si tout intervalle $]-\infty ; A]$ contient tous les termes à partir d'un certain rang. Une suite divergente peut tendre vers $+\infty$, vers $-\infty$, ou n'avoir aucune limite.
Exemple
$u_n = n^2$ et $u_n = \sqrt{n}$ tendent vers $+\infty$. La suite $u_n = (-1)^n$ n'a pas de limite : elle prend alternativement les valeurs 1 et $-1$. Attention : une suite croissante ne tend pas forcément vers $+\infty$ ; $u_n = 1 - \frac{1}{n + 1}$ est croissante et converge vers 1.
À retenir
Tendre vers $+\infty$ : les termes finissent par dépasser définitivement n'importe quel seuil $A$.
S'entraîner sur limite infinie d'une suite
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{u_n + 2}{2}$ pour tout $n \geq 0$. a) Montrer par récurrence que $u_n < u_{n+1} < 2$ pour tout $n \geq 0$. b) En déduire que $(u_n)$ converge.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Déterminer la limite de la suite définie pour tout $n \geq 0$ par $u_n = \frac{3n + 1}{n + 2}$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Suites (Mathématiques Terminale).