Rang à partir duquel les termes dépassent un seuil en Terminale
Rang à partir duquel les termes dépassent un seuil, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Suites numériques et modélisation », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Rang à partir duquel les termes dépassent un seuil : le cours
On cherche le plus petit rang $n$ tel que $u_n$ dépasse (ou passe sous) une valeur donnée. On calcule les termes successifs au tableur ou à la calculatrice, ou on écrit un algorithme avec une boucle « tant que » : tant que le terme n'a pas atteint le seuil, on calcule le terme suivant et on augmente le rang de 1.
Exemple
Machine à 20 000 euros qui perd 15 % par an : quand vaut-elle moins de 10 000 euros ? ```python u = 20000 n = 0 while u >= 10000: u = u * 0.85 n = n + 1 print(n) # affiche 5 ``` En effet $u_4 \approx 10\,440$ et $u_5 \approx 8\,874$ : la valeur passe sous 10 000 euros au bout de 5 ans.
À retenir
Algorithme de seuil : boucle `while` qui calcule les termes un par un jusqu'à franchir le seuil.
S'entraîner sur rang à partir duquel les termes dépassent un seuil
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Un technicien gagne 1 800 euros le premier mois ; son salaire augmente ensuite de 60 euros chaque mois. On note $u_n$ le salaire du $n$-ième mois. a) Quelle est la nature de la suite ? b) Calculer le salaire du 24e mois. c) Calculer le total gagné sur les 24 mois.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une usine produit 5 000 pièces la première année ; la production augmente ensuite de 8 % par an. On note $u_n$ la production de la $n$-ième année. a) Justifier que $(u_n)$ est géométrique et donner sa raison. Est-elle croissante ? b) Calculer la production de la 6e année. c) En quelle année la production dépasse-t-elle 7 000 pièces pour la première fois ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Suites numériques et modélisation (Mathématiques Terminale).
Autres notions de ce chapitre
- Suites arithmétiques : réinvestissement en contexte
- Suites géométriques de raison $q > 0$
- Terme de rang $n$ d'une suite géométrique
- Sens de variation d'une suite géométrique
- Nuage de points $(n ; u_n)$
- Somme des $n$ premiers termes
- Modéliser une évolution à taux fixe ; lien avec les fonctions exponentielles