Modéliser une évolution à taux fixe ; lien avec les fonctions exponentielles en Terminale
Modéliser une évolution à taux fixe ; lien avec les fonctions exponentielles, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Suites numériques et modélisation », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Modéliser une évolution à taux fixe ; lien avec les fonctions exponentielles : le cours
Une grandeur qui augmente de $p$ % à chaque période est multipliée par $q = 1 + \frac{p}{100}$ ; si elle diminue de $p$ %, elle est multipliée par $q = 1 - \frac{p}{100}$. Elle est donc modélisée par une suite géométrique $u_n = u_0 \times q^n$. La fonction $x \mapsto u_0 \times q^x$, définie pour tous les réels $x \geq 0$, prolonge cette suite : c'est une fonction exponentielle de base $q$, et les points $(n ; u_n)$ sont sur sa courbe.
Exemple
Une entreprise produit 1 000 pièces la première année et augmente sa production de 10 % par an : $u_n = 1\,000 \times 1{,}1^n$. La fonction $f(x) = 1\,000 \times 1{,}1^x$ permet d'estimer la production au bout de 2,5 ans : $f(2{,}5) \approx 1\,269$ pièces par an.
À retenir
Hausse de $p$ % : $q = 1 + \frac{p}{100}$ ; baisse de $p$ % : $q = 1 - \frac{p}{100}$. La suite $(u_0 q^n)$ se prolonge par la fonction $x \mapsto u_0 q^x$.
S'entraîner sur modéliser une évolution à taux fixe ; lien avec les fonctions exponentielles
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Un technicien gagne 1 800 euros le premier mois ; son salaire augmente ensuite de 60 euros chaque mois. On note $u_n$ le salaire du $n$-ième mois. a) Quelle est la nature de la suite ? b) Calculer le salaire du 24e mois. c) Calculer le total gagné sur les 24 mois.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une usine produit 5 000 pièces la première année ; la production augmente ensuite de 8 % par an. On note $u_n$ la production de la $n$-ième année. a) Justifier que $(u_n)$ est géométrique et donner sa raison. Est-elle croissante ? b) Calculer la production de la 6e année. c) En quelle année la production dépasse-t-elle 7 000 pièces pour la première fois ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Suites numériques et modélisation (Mathématiques Terminale).