Ajustements non affines et changement de variable en Terminale
Ajustements non affines et changement de variable, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Statistiques à deux variables », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Ajustements non affines et changement de variable : le cours
En terminale, les ajustements ne sont pas uniquement affines : quand le nuage de points n'a pas une forme allongée le long d'une droite (croissance de plus en plus rapide, par exemple), on choisit un autre modèle avec l'outil numérique (courbe de tendance exponentielle, puissance…). On peut aussi se ramener à un ajustement affine grâce à un changement de variable indiqué par l'énoncé, par exemple $z = \log(y)$ ou $z = \frac{1}{x}$ : on calcule les nouvelles valeurs, on fait l'ajustement affine entre les nouvelles variables, et c'est le coefficient de détermination $R^2$ calculé entre ces nouvelles variables qui indique la pertinence du modèle.
Exemple
Pour $x = 0, 1, 2, 3, 4$, on relève $y = 10, 20, 40, 80, 160$ : $y$ double à chaque pas, le nuage n'est pas rectiligne. Avec $z = \log(y)$, on obtient $z = 1$ ; $1{,}301$ ; $1{,}602$ ; $1{,}903$ ; $2{,}204$ : $z$ augmente de 0,301 à chaque pas, les points $(x ; z)$ sont alignés et $z = 0{,}301x + 1$ (ici $R^2 = 1$). On revient ensuite à $y$ par $y = 10^{z}$.
À retenir
Choisir le modèle d'après la forme du nuage ; avec un changement de variable $z = \log(y)$ (ou celui indiqué), on fait un ajustement affine de $z$ en fonction de $x$, on juge sa pertinence avec $R^2$, puis on revient à $y$ avec $y = 10^{z}$.
S'entraîner sur ajustements non affines et changement de variable
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Un magasin note le nombre d'heures d'ouverture par jour (x) et le nombre de clients (y) pendant 5 jours : (7 ; 95), (8 ; 118), (9 ; 150), (10 ; 178), (11 ; 209). 1) Calcule les coordonnées du point moyen G. 2) Avec la calculatrice ou un tableur, on obtient une droite d'ajustement d'équation $y = 28{,}8x - 109{,}2$ et un coefficient de détermination $R^2 \approx 0{,}998$. Que peut-on dire de cet ajustement ? Vérifie que G appartient à la droite. 3) Estime le nombre de clients pour 9,5 heures d'ouverture, puis pour 12 heures. Laquelle de ces deux estimations est la plus fiable ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Pour 50 athlètes, on a relevé la taille et le poids. Le tableur donne une droite de régression du poids en fonction de la taille et un coefficient de détermination $R^2 = 0{,}85$. Interpréter ce résultat. Peut-on utiliser la droite de régression pour prévoir le poids d'un athlète à partir de sa taille ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Statistiques à deux variables (Mathématiques Terminale).