Démontrer qu'une suite est arithmétique ou géométrique en 1ère
Démontrer qu'une suite est arithmétique ou géométrique, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Suites numériques », au programme de 1ère. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Démontrer qu'une suite est arithmétique ou géométrique : le cours
Pour démontrer qu'une suite est arithmétique, on calcule $u(n+1) - u(n)$ et on montre que le résultat ne dépend pas de $n$ : c'est la raison. Pour une suite géométrique à termes strictement positifs, on montre que $u(n+1) = q \times u(n)$, c'est-à-dire que $\frac{u(n+1)}{u(n)}$ est un nombre constant $q$.
Exemple
$u(n) = 4n + 1$ : $u(n+1) - u(n) = 4(n+1) + 1 - (4n + 1) = 4$, donc la suite est arithmétique de raison 4. $v(n) = 5 \times 3^n$ : $v(n+1) = 5 \times 3^{n+1} = 3 \times v(n)$, donc la suite est géométrique de raison 3.
À retenir
Vérifier sur les premiers termes ne suffit pas : le calcul doit être fait pour un n quelconque. En revanche, un seul contre-exemple suffit pour montrer qu'une suite n'est pas arithmétique (ou pas géométrique).
S'entraîner sur démontrer qu'une suite est arithmétique ou géométrique
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Une youtubeuse a 1 000 abonnés au départ et gagne 500 abonnés chaque mois. On note u(n) le nombre d'abonnés après n mois, avec u(0) = 1 000. 1) Justifier que la suite (u(n)) est arithmétique et donner sa raison. 2) Exprimer u(n) en fonction de n et calculer u(12). 3) À partir de combien de mois aura-t-elle plus de 10 000 abonnés ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un téléphone perd 15 % de sa valeur chaque année. Il coûte 800 euros à l'achat. On note v(n) sa valeur après n années. 1) Justifier que la suite (v(n)) est géométrique et donner sa raison. Quel est son sens de variation ? 2) Combien vaudra-t-il après 5 ans ? (arrondir à l'euro) 3) À l'aide de la calculatrice ou d'un programme, déterminer au bout de combien d'années sa valeur devient inférieure à 200 euros.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Suites numériques (Mathématiques 1ère).