Tangente à une courbe en un point et approximation linéaire en 1ère
Tangente à une courbe en un point et approximation linéaire, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Dérivation », au programme de 1ère. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Tangente à une courbe en un point et approximation linéaire : le cours
La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est la droite qui passe par le point $(a ; f(a))$ et dont le coefficient directeur est le nombre dérivé $f'(a)$ : c'est la « limite » des sécantes lorsque le second point se rapproche du premier. Attention : une tangente peut recouper la courbe ailleurs. Près de $a$, la courbe est très proche de sa tangente, d'où l'approximation linéaire $f(a + h) \approx f(a) + f'(a)h$ pour $h$ proche de $0$.
Exemple
Pour $f(x) = x^2$ en $a = 1$ : $f(1) = 1$ et $f'(1) = 2$, donc la tangente a pour équation $y = 2(x - 1) + 1$, soit $y = 2x - 1$. On en déduit $f(1{,}01) \approx 1 + 2 \times 0{,}01 = 1{,}02$ (valeur exacte : $1{,}0201$).
À retenir
L'équation de la tangente au point $(a, f(a))$ est $y = f'(a)(x - a) + f(a)$
S'entraîner sur tangente à une courbe en un point et approximation linéaire
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$. Calculez $f'(x)$, puis trouvez les points où $f'(x) = 0$. Déterminez si ce sont des maximums ou des minimums en étudiant le signe de $f'(x)$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Trouvez l'équation de la tangente à la courbe $g(x) = \frac{x}{x+1}$ au point d'abscisse $x = 1$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Dérivation (Mathématiques 1ère).