Phénomènes d'évolution, modélisation par des fonctions en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de phénomènes d'évolution, modélisation par des fonctions pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Variation linéaire : suites arithmétiques et fonctions affines
- Modélisation quadratique : fonctions polynômes de degré 2
- Variation exponentielle : suites géométriques
- Fonctions exponentielles prolongeant les suites géométriques
- Offre, demande et point d’équilibre
Variation linéaire et suites arithmétiques
Une variation linéaire, c'est quand quelque chose augmente ou diminue toujours du même montant. Une suite arithmétique est une liste de nombres où on ajoute toujours la même valeur pour passer d'un nombre au suivant.
Exemple
Un abonnement téléphonique : si tu paies 10 euros par mois, tes dépenses totales augmentent linéairement. Après 1 mois : 10 euros, après 2 mois : 20 euros, après 3 mois : 30 euros. La différence entre deux mois est toujours 10 euros.
À retenir : Une suite arithmétique a une différence constante entre deux termes consécutifs, appelée raison $r$.
Fonction affine et droite
Une fonction affine est une fonction de la forme $f(x) = ax + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres fixes. Le nombre $a$ indique la pente de la courbe, et $b$ est la valeur au point de départ.
Exemple
Le prix d'une course en taxi : $f(x) = 2x + 3$ signifie que tu paies 3 euros de prise en charge plus 2 euros par kilomètre. Pour 5 km, tu paies $f(5) = 2 \times 5 + 3 = 13$ euros.
À retenir : Le coefficient $a$ s'appelle la pente ou le taux de variation : c'est la variation de $y$ quand $x$ augmente de 1.
Modélisation quadratique et polynômes
Une fonction polynôme de degré 2 (ou fonction quadratique) est une fonction de la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$. Sa courbe est une parabole qui monte puis descend, ou descend puis monte.
Exemple
La hauteur d'une balle lancée en l'air : si tu lances une balle vers le haut, sa hauteur est $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$ (en mètres, avec $t$ le temps en secondes). D'abord elle monte, puis elle redescend.
À retenir : Le coefficient $a$ détermine si la parabole s'ouvre vers le haut ($a > 0$) ou vers le bas ($a < 0$).
Variation exponentielle et suites géométriques
Une suite géométrique est une liste de nombres où on multiplie toujours par le même nombre pour passer d'un nombre au suivant. La variation est proportionnelle à la valeur atteinte : on parle de croissance ou de décroissance exponentielle.
Exemple
Une population de bactéries qui double chaque heure : 1 bactérie au départ, puis 2, puis 4, puis 8, puis 16... Le nombre de bactéries est multiplié par 2 à chaque étape.
À retenir : Une suite géométrique a un rapport constant entre deux termes consécutifs, appelé raison $q$. Le terme général est $u_n = u_0 \times q^n$.
Fonction exponentielle
Une fonction exponentielle est une fonction de la forme $f(x) = a \times b^x$ (avec $b > 0$ et $b \neq 1$). C'est la version continue de la suite géométrique : elle modélise une croissance ou une décroissance exponentielle.
Exemple
La radioactivité : une matière radioactive diminue suivant une exponentielle $N(t) = N_0 \times (0{,}5)^{t/T}$, où $T$ est la demi-vie. Chaque période, la quantité est divisée par 2.
À retenir : Pour $q > 1$, la fonction $x \mapsto q^x$ est croissante (croissance exponentielle) ; pour $0 < q < 1$, elle est décroissante (décroissance exponentielle).
Offre, demande et équilibre
L'offre est la quantité qu'un producteur est prêt à vendre à un certain prix. La demande est la quantité que les consommateurs veulent acheter à ce prix. L'équilibre est atteint quand l'offre égale la demande.
Exemple
Prix d'un jeu vidéo : si le prix est très bas, beaucoup de gens le veulent (forte demande) mais les producteurs en proposent peu (faible offre). Si le prix monte, moins de gens le veulent (faible demande) mais les producteurs en proposent plus (forte offre). Il existe un prix où tout le monde s'accorde.
À retenir : Le point d'équilibre est l'intersection des courbes d'offre et de demande : c'est le prix et la quantité où le marché s'équilibre.
Les points clés
- Suite arithmétique : $u_n = u_0 + n \times r$ où $r$ est la raison
- Fonction affine : $f(x) = ax + b$ où $a$ est la pente
- Polynôme degré 2 : $f(x) = ax^2 + bx + c$, sommet en $x = -\frac{b}{2a}$
- Suite géométrique : $u_n = u_0 \times q^n$ où $q$ est la raison
- Fonction exponentielle : $f(x) = a \times b^x$ modèle de croissance ($b > 1$) ou de décroissance ($0 < b < 1$) exponentielle
- Point d'équilibre : résoudre $\text{Offre}(p) = \text{Demande}(p)$ pour trouver le prix $p$ et la quantité
L'essentiel
Tout phénomène d'évolution peut être modélisé par une fonction : linéaire pour les changements réguliers, quadratique pour les accélérations simples, exponentielle quand la variation est proportionnelle à la valeur (même pourcentage d'évolution à chaque étape).
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un club de sport propose un abonnement : 50 euros d'inscription plus 8 euros par mois. Écris la fonction $f(n)$ qui donne le coût total après $n$ mois. Quel est le coût après 12 mois ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Le nombre de bactéries dans une culture double toutes les 3 heures. Il y a 100 bactéries au départ. Combien y en a-t-il après 9 heures ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →