Phénomènes aléatoires en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de phénomènes aléatoires pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Probabilité conditionnelle
- Indépendance de deux évènements
- Tableau croisé d’effectifs et arbre pondéré
- Répétition d’épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes
Probabilité conditionnelle
C'est la probabilité qu'un événement se produise sachant qu'un autre événement s'est déjà produit. On conditionne par rapport à une information qu'on connaît déjà.
Exemple
Au lycée, on sait que 30 % des élèves font du sport. Parmi ceux qui font du sport, 80 % ont une bonne note en EPS. La probabilité d'avoir une bonne note EN SACHANT qu'on fait du sport est une probabilité conditionnelle.
À retenir : La formule est $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ : probabilité de A sachant B.
Indépendance de deux événements
Deux événements sont indépendants quand la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de l'autre. Ils n'ont aucun lien entre eux.
Exemple
Lancer un dé et regarder la météo sont indépendants : le résultat du dé n'affecte pas s'il va pleuvoir. Par contre, avoir un parapluie et qu'il pleuve ne sont pas indépendants.
À retenir : A et B sont indépendants si et seulement si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
Tableau croisé d'effectifs et arbre pondéré
Le tableau croisé organise les données en lignes et colonnes pour voir tous les cas possibles. L'arbre pondéré est un diagramme qui montre les chemins possibles avec leurs probabilités à chaque étape.
Exemple
Pour un sondage : tableau avec (Garçons/Filles) en lignes et (Sport/Pas de sport) en colonnes. L'arbre montre d'abord le choix garçon ou fille, puis pour chaque branche le choix sport ou pas.
À retenir : Le tableau croisé permet de compter les cas ; l'arbre permet de calculer les probabilités en multipliant les probabilités sur chaque branche.
Répétition d'épreuves de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience avec deux résultats possibles (succès ou échec). On peut la répéter 2, 3 ou 4 fois de façon identique et indépendante, et représenter la situation par un arbre pondéré.
Exemple
Lancer une pièce 3 fois : chaque lancer est une épreuve de Bernoulli (pile ou face). L'arbre compte 2 × 2 × 2 = 8 chemins ; pour obtenir exactement 2 piles, on repère les chemins PPF, PFP et FPP.
À retenir : Sur l'arbre, la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches ; la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui le réalisent.
Les points clés
- Probabilité conditionnelle : $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, utile quand on a une information déjà connue.
- Indépendance : deux événements sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, aucune influence mutuelle.
- Tableau croisé : résume tous les cas possibles en comptant les effectifs ; arbre pondéré : chemin de probabilités à multiplier.
- Répétition de 2, 3 ou 4 épreuves de Bernoulli indépendantes : on construit l'arbre pondéré, on multiplie le long d'un chemin et on additionne les chemins favorables.
- Événements contraires : $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$, souvent plus facile à calculer.
L'essentiel
Les probabilités conditionnelles et l'indépendance sont au cœur de tout : savoir si deux événements s'influencent (conditionnel) ou non (indépendants) détermine comment on calcule.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Dans une classe, 60 % des élèves ont un smartphone. Parmi ceux avec un smartphone, 75 % utilisent les réseaux sociaux. Parmi ceux sans smartphone, 10 % utilisent les réseaux sociaux. Calculez la probabilité qu'un élève choisi au hasard utilise les réseaux sociaux.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un joueur de basket réussit un lancer franc avec une probabilité de 0,7. Il tire 3 lancers francs, de façon identique et indépendante. À l'aide d'un arbre pondéré, calcule la probabilité qu'il en réussisse exactement 2.
Corrige cet exercice avec le tuteur →