Modéliser l’évolution temporelle d’un système, siège d’une transformation nucléaire en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de modéliser l’évolution temporelle d’un système, siège d’une transformation nucléaire pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Stabilité et instabilité des noyaux, diagramme (N,Z)
- Radioactivité alpha, bêta, gamma
- Loi de décroissance radioactive N(t)=N0*e^(-λ*t)
- Constante radioactive, temps de demi-vie, activité
- Datation par radioactivité
Stabilité et instabilité des noyaux
Un noyau est stable quand ses protons et neutrons sont bien liés ensemble. Un noyau instable se désintègre avec le temps en émettant de l'énergie et des particules pour devenir plus stable.
Exemple
Un noyau radioactif, c'est comme un immeuble mal construit qui s'effondre progressivement pour se reconstruire dans une forme plus solide.
À retenir : Les noyaux légers préfèrent autant de protons que de neutrons, les noyaux lourds stables comportent davantage de neutrons que de protons.
Diagramme (N,Z) et la vallée de stabilité
Le diagramme (N,Z) représente en abscisse le nombre de protons Z et en ordonnée le nombre de neutrons N de tous les noyaux. La vallée de stabilité est la zone où se trouvent tous les noyaux stables.
Exemple
C'est comme une carte routière où les routes sûres sont tracées (noyaux stables) et hors route c'est dangereux (noyaux instables qui se désintègrent).
À retenir : Les noyaux stables suivent une diagonale approximativement : N ≈ Z pour les légers, puis N > Z pour les lourds.
Radioactivité alpha
La radioactivité alpha est l'émission d'une particule alpha (noyau d'hélium ⁴He avec 2 protons et 2 neutrons). Le noyau perd 2 protons et 2 neutrons, donc A diminue de 4 et Z de 2.
Exemple
Quand l'uranium 238 se désintègre, il émet une particule alpha et devient du thorium 234. La désintégration d'éléments radioactifs (uranium, thorium, potassium 40) contribue à la chaleur interne de la Terre.
À retenir : Réaction : ${}^{A}_{Z}\mathrm{X} \rightarrow {}^{A-4}_{Z-2}\mathrm{Y} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$
Radioactivité bêta moins
La radioactivité bêta moins est l'émission d'un électron (bêta) depuis le noyau. Un neutron se transforme en proton, donc Z augmente de 1 et A ne change pas.
Exemple
Le carbone 14 se transforme en azote 14 en émettant un électron. C'est ce qui permet de dater des restes d'êtres vivants de moins de 50 000 ans environ (os, bois, tissus).
À retenir : Réaction : ${}^{A}_{Z}\mathrm{X} \rightarrow {}^{A}_{Z+1}\mathrm{Y} + e^- + \bar{\nu}_e$
Radioactivité bêta plus
La radioactivité bêta plus est l'émission d'un positron (antiparticule de l'électron, de charge positive) depuis le noyau. Un proton se transforme en neutron, donc Z diminue de 1 et A ne change pas.
Exemple
Le fluor 18 se transforme en oxygène 18 par bêta plus. C'est utilisé en imagerie médicale pour voir les tumeurs.
À retenir : Réaction : ${}^{A}_{Z}\mathrm{X} \rightarrow {}^{A}_{Z-1}\mathrm{Y} + e^+ + \nu_e$
Radioactivité gamma
La radioactivité gamma est l'émission d'un photon de très haute énergie. Le noyau reste le même (A et Z ne changent pas), il perd juste de l'énergie en excès.
Exemple
Après une désintégration alpha ou bêta, le noyau fils peut être excité comme une corde de guitare qui vibre. Il libère l'énergie en rayons gamma.
À retenir : Le rayonnement gamma accompagne souvent alpha ou bêta ; A et Z inchangés.
Loi de décroissance radioactive
La loi $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ décrit le nombre de noyaux radioactifs restants au temps t. Le nombre diminue de façon exponentielle, pas linéairement.
Exemple
Si tu as 1000 grains de riz radioactifs, après un temps de demi-vie tu en as 500, puis 250, puis 125... Pas 750, puis 500, puis 250.
À retenir : $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ où λ est la constante de décroissance spécifique à chaque isotope.
Constante radioactive lambda
La constante radioactive λ (lambda) caractérise la vitesse de désintégration d'un isotope. Plus λ est grand, plus l'isotope se désintègre vite.
Exemple
Le tritium (³H) a un lambda grand, il disparaît vite. L'uranium 238 a un lambda minuscule, il reste des milliards d'années.
À retenir : $\lambda = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}}$ où $t_{1/2}$ est le temps de demi-vie.
Temps de demi-vie
Le temps de demi-vie $t_{1/2}$ est le temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs initiaux se désintègrent.
Exemple
Le carbone 14 a un temps de demi-vie de 5730 ans. Un squelette vieux de 5730 ans a perdu la moitié de son carbone 14 initial.
À retenir : Après n demi-vies : $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$
Activité radioactive
L'activité A(t) est le nombre de désintégrations par seconde dans un échantillon. C'est l'opposé de la dérivée du nombre de noyaux par rapport au temps. Elle s'exprime en becquerels (Bq) ou en curies (Ci).
Exemple
Un détecteur Geiger qui clique rapidement mesure une haute activité. Un compteur qui clique lentement indique une faible activité.
À retenir : $A(t) = -\frac{dN}{dt} = \lambda N_0 e^{-\lambda t} = A_0 e^{-\lambda t}$ (en Bq ou Ci)
Datation par radioactivité
La datation radioactive utilise la désintégration connue d'un isotope pour calculer l'âge d'un objet. On compare la quantité d'isotope restante à la quantité initiale.
Exemple
Pour dater un os ancien : on mesure le carbone 14 restant, on applique la loi de décroissance avec $t_{1/2} = 5730$ ans, et on trouve l'âge de l'os.
À retenir : $t = \frac{1}{\lambda} \ln(\frac{N_0}{N(t)})$ permet de calculer l'âge d'un échantillon.
Les points clés
- $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ — loi exponentielle de décroissance radioactive
- $t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$ — relation entre demi-vie et constante radioactive
- $A(t) = \lambda N(t)$ — l'activité est proportionnelle au nombre de noyaux restants
- Alpha : perte de ⁴He (Z-2, A-4) | Bêta- : émission e- (Z+1, A inchangé) | Gamma : émission photon (Z et A inchangés)
- Diagramme N,Z : vallée de stabilité où se trouvent tous les noyaux stables
- Datation : $t = \frac{1}{\lambda} \ln(\frac{N_0}{N})$ utilise le carbone 14 pour les restes organiques de moins de 50 000 ans environ, uranium pour roches anciennes
L'essentiel
La radioactivité suit une loi exponentielle : le nombre de noyaux et l'activité diminuent de moitié tous les temps de demi-vie, permettant ainsi de dater des objets anciens.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un échantillon de carbone 14 a une activité initiale de $A_0 = 1200$ Bq. Le carbone 14 a un temps de demi-vie de 5730 ans. Calculez l'activité après 11 460 ans (2 demi-vies). Quel sera le nombre de désintégrations après ce délai si l'on attend 1 seconde ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un os ancien contient du carbone 14. On mesure que la quantité de carbone 14 restante est 25 % de la quantité initiale. Calculez l'âge du fossile. ($t_{1/2}(^{14}C) = 5730$ ans, $\lambda = 1{,}21 \times 10^{-4}$ an⁻¹)
Corrige cet exercice avec le tuteur →